斯特瓦尔特定理及其在平行四边形中的应用

斯特瓦尔特定理及其在平行四边形中的应用

斯特瓦尔特定理是平面几何中的一个重要定理，它揭示了三角形的边长与切氏线（从一个顶点到对边任意点的连线）长度之间的关系。这个定理不仅在数学理论研究中占有重要地位，而且在实际应用中也具有广泛的价值。本文将详细介绍斯特瓦尔特定理的基本内容及其在特殊情况下（如中线和角平分线）的推论，并探讨其在平行四边形中的应用。

斯特瓦尔特定理的基本内容

如图1所示，在△ABC中，D为BC上一点，连接AD（切氏线），则有：

AB²·DC+AC²·BD﹣AD²·BC = BC·BD·DC。

这个定理揭示了三角形中六条边长之间的等量关系。下面给出一种证明方法：

作AH⊥BC，垂足为H（图2）。根据勾股定理：

AC²=AH²+HC²
= AH²+(DC-DH) ²
= AH²+DC ²-2DC·DH+DH ²
=( AH²+ DH ²) +DC ²-2DC·DH
=AD²+DC ²-2DC·DH…………①;

同理证明AB² =BD² +AD² +2BD·DH…………②。

将①两边同时乘BD得：

AC²·BD= AD²·BD +DC ²·BD -2DC·DH·BD……③;

将②两边同时乘DC得：

AB²·DC =BD²·DC +AD²·DC +2BD·DH·DC……④。

将④+③得：

AB²·DC+ AC²·BD
= BD²·DC +AD²·DC + AD²·BD +DC ²·BD
= AD²（DC+BD）+ BD·DC（BD+DC）
= AD²·BC+BC·BD·DC。

故AB²·DC+AC²·BD﹣AD²·BC = BC·BD·DC成立。

斯特瓦尔特定理的推论

在斯特瓦尔特定理的基础上，如果切氏线为中线和角平分线时，我们可以得出如下推论。

1. 中线长定理（阿波罗尼奥斯定理）

如图3，D为BC的中点，连接AD，则BD=DC，BC=2BD，可将上述公式作如下变形：

AB²·DC+AC²·BD﹣AD²·BC = BC·BD·DC，即
AB²·BD+AC²·BD﹣AD²·2BD =2BD·BD ²，简化后：
AB²+ AC²=2（AD ²+ BD ²）。

2. 角平分线长定理（斯库顿定理）

在△ABC中，当AD为角平分线时（图4），则有下面的线段关系：

AD ²=AB·AC- BD·DC。

设AB=x，AC=y，BD=m，DC=n，
根据角平分线定理有：AB/AC=BD/DC，即x/y=m/n,则
m=xn/y, n=ym/x。由斯特瓦尔特定理得：
AB²·DC+AC²·BD﹣AD²·BC = BC·BD·DC，即
x ²n+y ²m- AD²(m+n)= (m+n)mn,
x ²(ym/x)+y ²(xn/y) - AD²(m+n)= (m+n)mn,
xym+xyn - AD²(m+n)= (m+n)mn,
xy(m+n) - AD²(m+n)= (m+n)mn,
AD²= xy-mn,
则AD²=AB·AC-BD·DC成立。

3. 平行四边形的四边对角线平方和定理

如图5，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于M，则有AB²+AD²+DC²+BC²=AC²+BD²。

根据平行四边形的性质，对角线AC、BD相互平分，
M为BD和AC的中点，MB=MD=1/2BD；MA=MC=1/2AC。
AM、CM分别为△ABD、△BCD的中线，根据中线长定理得：
AB²+AD²=2（AM²+BM²），
BC²+CD²=2(MC²+BM²)，
由此AB²+AD²+ BC²+CD²=4 AM²+4BM²
=4（1/2AC）²+4(1/2BD) ²
= AC²+BD²,
则AB²+AD²+DC²+BC²=AC²+BD²成立。