包络线的通用求法及其在几何学中的应用

包络线的通用求法及其在几何学中的应用

在几何学中，某个曲线族的包络线（Envelope）是一个非常有趣且重要的概念。包络线定义为与该曲线族的每条线都有至少一点相切的一条曲线。曲线族可以表示为关于(t)的方程，由于包络线不会因为(t)改变，所以其关于(t)的偏导数恒为0。因此，可以通过联立方程来求解包络线方程：

[
\left { \begin{aligned}
&F(x, y, t) = 0 \
&\dfrac{\partial}{\partial t} F(x, y, t) = 0
\end{aligned} \right .
]

接下来，我们通过一个具体的例题来展示如何应用这一方法。考虑一个光滑墙角(xOy)，其中竖直放置一个长度为1米的爬梯。我们需要求解爬梯下滑过程中扫过区域的边界。

注意到每个(t\in [0, 1])都可以确定当爬梯底端横坐标为(t)时爬梯所在直线的方程：

[
y=\dfrac{t-x}{t}\sqrt{1-x^2}\\iff F(x, y, t) = y - \dfrac{t-x}{t}\sqrt{1-x^2} = 0
]

根据上述方法，我们联立方程：

[
\left{\begin{aligned}
y - \dfrac{t-x}{t}\sqrt{1-x^2} = 0\
\dfrac{\partial}{\partial t}\left[y - \dfrac{t-x}{t}\sqrt{1-x^2} = 0\right] = 0
\end{aligned} \right .
]

将(x)和(y)当作常数，求解得到：

[
y - \dfrac{t-x}{t}\sqrt{1-x^2}=\
(x-t)\left(\dfrac{1}{\sqrt{1-t^2}}+\dfrac{\sqrt{1-t^2}}{t^2}\right)+\dfrac{\sqrt{1-t^2}}{t}=0\
\therefore x=t-\dfrac{\dfrac{\sqrt{1-t^2}}{t}}{\dfrac{1}{\sqrt{1-t^2}}+\dfrac{\sqrt{1-t^2}}{t^2}}=t^3
]

带回原方程：

[
y-\dfrac{t-t^3}{t}\sqrt{1-t^2}=0\
y=(1-t^2)^{3 \over 2}\
x^{2 \over 3} + y^{2 \over 3}=1
]

因此，爬梯下滑过程中扫过区域的边界即为(x^{2 \over 3} + y^{2 \over 3}=1)和两坐标轴围成的图形。