高等数学学习笔记：一元函数微分的基础知识
高等数学学习笔记：一元函数微分的基础知识
微分是高等数学中的核心概念之一，它不仅是研究函数变化率的重要工具，还在物理学、工程学等多个领域有着广泛的应用。本文将从微分的定义出发，系统地介绍微分的基本概念、几何意义及其在数学分析中的重要定理，帮助读者全面理解这一重要数学工具。
1. 微分的定义
（1）定义：设函数
在点
的某领域内有定义，取
附近的点
，对应的函数值分别为
和
，
令
，若
可以表示成
，则称函数
在点
是可微的。
【
若函数
在点
是可微的，则
可以表达为
】
称
为函数
在点
处，改变量
的微分。记作：可微：
；微分：
。
备注：
①：通过绘图理解：
是与
无关的量，但与
有关，
就是函数
在点
处的导数，即
。
②：通过绘图理解：根据
可知，当
时，
，则有
。
③：函数的微分
是函数的增量
主要部分，且是
的线性函数，故称函数的微分
是函数的增量
的线性主部。
④：通常把自变量
的增量
称为自变量的微分，记作
，即
。
⑤：对于一元函数而言：可导即可微，可微即可导。
⑥：一元函数求微分的表达式：
。
想求微分，先求导，然后右边再乘
。
（2）几何意义：通过绘图理解：函数的微分
是函数
在点
处的切线对应于
在纵坐标上的增量。
备注：
：属于精确值；
：属于
的近似值。即：
。
（3）实际应用：
①：根据
，即：
可得：
，
可以把线性函数的数值计算结果作为原本函数的数值的近似值(
的值选取要尽可能的小)。
②：根据
可得：
，故
比
的高阶无穷小，所以当
很小时，因此函数
在点
附近可以用切线来近似代替曲线段。它的直接应用就是函数的线性化。
当
比较小时，则有：
，
，
，
，
。
导数与微分的区别：导数解决的是函数的变化率的问题；微分解决的是函数的增量的问题。
2. 微分的中值定理
（1）费马引理：设函数
在点
的某领域内有定义，且在
点处可导，对于点
的某领域内任意
，若
或
，则函数
在点
处的导数为零，即
(斜率为零)。
（2）罗尔中值定理：设函数
在①：闭区间
连续，②：开区间
可导，③：
，则在开区间
上，
至少存在一点
，使得
。
说明函数
图像的切线斜率，存在为0的情况。
（3）拉格朗日中值定理：设函数
在①：闭区间
连续，②：开区间
可导，则在开区间
上，至少存在一点
，
使得
。
说明函数
图像的切线的斜率与由点
和点
所确定的直线的斜率，存在相等的情况。
备注：
①：设函数
在区间
上连续、可导且导数恒为0，则函数
(
为常数)。
②：当
时，有：
。
（4）柯西中值定理：设函数
与
在①：闭区间
连续，②：开区间
可导，③：
，
则在开区间
上，至少存在一点
，使得
。
备注：柯西中值定理与拉格朗日中值定理最终表示的含义都是一样的。