吉布斯现象（Gibbs Phenomenon）的数学定义与证明

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吉布斯现象（Gibbs Phenomenon）的数学定义与证明

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https://blog.csdn.net/u013600306/article/details/144748541

吉布斯现象（Gibbs Phenomenon）是信号处理和数学领域中的一个重要概念，描述了在使用傅里叶级数逼近具有不连续点的周期函数时出现的过冲和振荡现象。这一现象最早由Henry Wilbraham于1848年提出，并由约西亚·吉布斯于1899年证明。本文将详细介绍吉布斯现象的数学定义、影响及其在方波信号中的具体表现。

吉布斯现象（Gibbs Phenomenon），由Henry Wilbraham于1848年最先提出，并由约西亚·吉布斯于1899年证明。有限正弦项正弦波叠加逼近原周期信号。所用的谐波项数N决定逼近原波形的程度，N增加，逼近的精度越高。

Gibbs现象是周期性信号的傅里叶级数展开时出现的一种现象。当一个周期函数在不连续点附近被其傅里叶级数的部分和近似时，近似值会在不连续点处产生过冲（overshoot）和欠冲（undershoot）。当谐波项N增加时，合成的波形虽然更逼近原函数，但在不连续点附近会出现一个固定幅度的过冲和欠冲，N越大，这些过冲和下冲越靠近不连续点，但其峰值并不下降，而是大约等于原函数在不连续点处跃变幅度的9%，且在不连续点两侧呈现衰减振荡的形式。

吉布斯现象的影响

过冲：在不连续点附近，会出现一个固定的过冲量，大约为总跳变幅度的9%左右，这不会随着增加更多的傅里叶级数项而消失。
振铃：除了过冲外，还会看到围绕不连续点的一系列振荡，这些振荡会随着时间远离不连续点而逐渐衰减。

吉布斯现象的数学证明

吉布斯现象的数学证明涉及傅里叶级数和傅里叶变换的基本理论。为了简化讨论，我们考虑一个周期性的方波信号，并分析其傅里叶级数展开。这个方波可以被看作是理想低通滤波器在时域中的单位脉冲响应（sinc函数）的离散版本。

方波的傅里叶级数表示

假设有一个周期为2 L 2L2L的方波函数f ( t ) f(t)f(t)，它在一个周期内的定义如下：

f ( t ) = { A , − L < t < 0 − A , 0 < t < L f(t) = \begin{cases} A, & -L < t < 0 \ -A, & 0 < t < L \end{cases}f(t)={A,−A, −L<t<00<t<L

其中A AA是方波的振幅。该方波的傅里叶级数展开为：

f ( t ) = 4 A π ( sin ⁡ ( π t L ) + 1 3 sin ⁡ ( 3 π t L ) + 1 5 sin ⁡ ( 5 π t L ) + ⋯ ) f(t) = \frac{4A}{\pi}\left(\sin\left(\frac{\pi t}{L}\right) + \frac{1}{3}\sin\left(3\frac{\pi t}{L}\right) + \frac{1}{5}\sin\left(5\frac{\pi t}{L}\right) + \cdots \right)f(t)=π4A (sin(Lπt )+31 sin(3Lπt )+51 sin(5Lπt )+⋯)

这实际上是一个只包含奇次谐波的正弦级数，因为方波是奇函数。

吉布斯现象的证明

对于任意有限个数N NN的傅里叶级数部分和S N ( t ) S_N(t)SN (t)，我们可以写成：

S N ( t ) = 4 A π ∑ n = 1 , 3 , 5 , . . . N 1 n sin ⁡ ( n π t L ) S_N(t) = \frac{4A}{\pi}\sum_{n=1,3,5,...}^{N} \frac{1}{n}\sin\left(n\frac{\pi t}{L}\right)SN (t)=π4A n=1,3,5,...∑N n1 sin(nLπt )

当我们在不连续点附近考察S N ( t ) S_N(t)SN (t)，即t tt接近于0 00或L LL时，会发现随着N NN的增加，S N ( t ) S_N(t)SN (t)在不连续点附近的振荡变得更加复杂，但过冲量趋于稳定，不会随N NN增加而减少。

过冲量的计算

吉布斯现象的一个关键特性是，在不连续点处的最大过冲量大约是原始跳跃幅度的9%左右。这个结果可以通过积分来严格证明。对于方波，跳跃幅度为2 A 2A2A，因此过冲量约为0.09 × 2 A = 0.18 A 0.09 \times 2A = 0.18A0.09×2A=0.18A。

考虑在t = 0 t=0t=0处的过冲情况，使用傅里叶级数的性质，我们知道在不连续点附近，S N ( t ) S_N(t)SN (t)可以用积分形式表示：

S N ( t ) = 2 A π ∫ 0 π N / L sin ⁡ x x d x S_N(t) = \frac{2A}{\pi}\int_0^{\pi N/L} \frac{\sin x}{x} dxSN (t)=π2A ∫0πN/L xsinx dx

这里x = n π t / L x = n\pi t / Lx=nπt/L。根据积分的性质，特别是 sinc 函数的积分，我们知道：

lim ⁡ N → ∞ ∫ 0 π N / L sin ⁡ x x d x = π 2 \lim_{N \to \infty} \int_0^{\pi N/L} \frac{\sin x}{x} dx = \frac{\pi}{2}N→∞lim ∫0πN/L xsinx dx=2π

这意味着在极限情况下，S N ( t ) S_N(t)SN (t)将达到最大值A AA的位置超过实际值，具体地：

S N ( t ) ≈ A ( 1 + 0.18 π / 2 ) = A ( 1 + 0.18 × 2 π ) ≈ 1.0896 A S_N(t) \approx A \left(1 + \frac{0.18}{\pi/2}\right) = A (1 + 0.18 \times \frac{2}{\pi}) \approx 1.0896ASN (t)≈A(1+π/20.18 )=A(1+0.18×π2 )≈1.0896A

因此，过冲量大约为0.0896 A 0.0896A0.0896A或者说是原跳跃幅度2 A 2A2A的约9%。