算法与数据结构——归并排序

算法与数据结构——归并排序

归并排序是一种基于分治策略的排序算法，通过将数组不断划分为更小的子数组，然后将这些子数组合并为有序数组。本文将详细介绍归并排序的算法流程、代码实现以及其在链表排序中的应用。

归并排序的基本概念

归并排序（merge sort）是一种基于分治策略的排序算法，包含下图所示的“划分”和“合并”阶段。

• 划分阶段：通过递归不断地将数组从中点处分开，将长数组的排序问题转换为短数组的排序问题。
• 合并阶段：当子数组长度为1时终止划分，开始合并，持续地将左右两个较短的有序数组合并为一个较长的有序数组，直至结束。

算法流程

“划分阶段”从顶至底递归将数组从中点切分为两个子数组。

1. 计算数组中点 mid，递归划分左子数组（区间 [left, mid]）和右子数组（区间 [mid + 1, right]）。
2. 递归执行步骤 1，直至子数组区间长度为1时终止。

“合并阶段”从底至顶将左子数组和右子数组合并为一个有序数组。注意，从长度为1的子数组开始合并，合并阶段中的每个子数组都是有序的。

观察可以发现，归并排序与二叉树后序遍历的递归顺序是一致的。

• 后序遍历：先递归左子树，在递归右子树，最后处理根节点。
• 归并排序：先递归左子数组，在递归右子数组，最后处理合并。

注意 nums 的待合并区间为 [left,right]，而 tmp 对应的区间为 [0,right - left]。

/*合并左子数组与右子数组*/
void merge(vector<int> &nums, int left, int mid, int right){
    // 左子数组区间为 [left, mid], 右子数组区间为 [mid+1, right]
    // 创建一个临时数组tmp，用于存放合并后的结果
    vector<int> tmp(right - left + 1);
    // 初始化左子数组和右子数组的起始索引
    int i = left, j = mid + 1, k = 0;
    // 当左右子数组都还有元素时，进行比较并将较小的元素复制到临时数组中
    while (i <= mid && j <= right){
        if (nums[i] < nums[j])
            tmp[k++] = nums[i++];
        else
            tmp[k++] = nums[j++];
    }
    // 将左子数组和右子数组的剩余元素复制到临时数组中
    while (i <= mid)
        tmp[k++] = nums[i++];
    while (j <= right)
        tmp[k++] = nums[j++];
    // 将临时数组tmp中的元素复制回nums对应区间
    for (k = 0; k < tmp.size(); k++){
        nums[left + k] = tmp[k];
    }
}
/*归并排序*/
void mergeSort(vector<int> &nums, int left, int right){
    // 终止条件
    if (left >= right)
        return; // 当子数组长度为1时终止递归
    // 划分阶段
    int mid = (left + right) / 2; // 计算中点
    mergeSort(nums, left, mid);    // 递归左子数组
    mergeSort(nums, mid + 1, right); // 递归右子数组
    // 合并阶段
    merge(nums, left, mid, right);
}

算法特性

• 时间复杂度O(nlogn)、非自适应排序：划分产生高度为logn的递归树，每层合并的总操作数量为n，因此总体时间复杂度为O(nlogn)。
• 空间复杂度O(n)、非原地排序：递归深度logn，使用O(logn)大小的栈帧空间。合并操作需要借助数组实现，使用O(n)大小的额外空间。
• 稳定排序：在合并过程中，相等元素的次序保持不变。

链表排序

对于链表，归并排序相较于其他排序算法具有显著优势，可以将链表排序任务的空间复杂度优化至O(1)。

• 划分阶段：可以使用“迭代”替代“递归”来实现链表划分工作，从而省去递归使用的栈帧空间。
• 合并阶段：在链表中，节点增删操作仅需改变引用（指针）即可实现，因此合并阶段（将两个短有序链表合并为一个长有序链表）无需创建额外链表。