如何推导椭圆的参数方程
如何推导椭圆的参数方程
椭圆是解析几何中的重要曲线之一，其参数方程在物理学、工程学等领域有着广泛的应用。本文将从椭圆的基本定义出发，逐步推导出椭圆的参数方程，帮助读者深入理解椭圆的几何性质。
椭圆基础知识
椭圆定义：椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为2a
如何由椭圆定义推出椭圆标准方程呢？
如上图所示。由定义可得已知条件为 $|MC_1|+|MC_2|=2a$
当M落在顶点P上时，可得另一已知条件 $a^2-b^2=c^2$
当有了已知条件之后，可以通过 $RT\triangle MC_1D$ 和 $MC_2D$ 写出如下等式：
$$
\sqrt{(x+c)^2+y^2}+\sqrt{(x-c)^2+y^2}=2a
$$
该式可通过两边平方消除根式，且化简过程中要用 $a^2-b^2$ 代替 $c^2$
该式化简有一定计算量，在此不写出详细步骤
但最终一定能化简为
$$
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1
$$
即有了定义之后，椭圆上任意一点M满足该方程
椭圆标准方程：
- 当焦点在 x 轴时， $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$
- 当焦点在 y 轴时， $\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1(a>b>0)$
焦距 c 与 a，b 的关系： $a^2-b^2=c^2$
椭圆面积公式： $\pi ab$，当 $a=b$ 时，即圆的面积公式 $\pi a^2$
椭圆参数方程
如上图所示。分别作椭圆的外接圆和内接圆
容易得知两个圆方程分别为 $x^2+y^2=a^2$，$x^2+y^2=b^2$
取大圆上一点A（或小圆上一点B），连接OA与小圆相较于B
过点A作一条垂直直线，过点B作一条水平直线，相交于P
此时点P(x,y)在不在椭圆上并不知道，下面求出x和y的表达式
设 $\angle AOD=\theta$，而OA=a，因此 $x=a\cos \theta$
在 $\triangle BOE$ 中，OB=b，因此 $y=b\sin \theta$
将 $(a\cos \theta,b\sin \theta)$ 代入椭圆标准方程，等式成立
因此也就得到了椭圆的参数方程：
$$
\begin{cases}
x=a\cos \theta \
y=b\sin \theta
\end{cases}
$$
这里的 $\theta$ 称为离心角，而 $\angle POD$ 称为旋转角
由图可知离心角是由椭圆上一点和内接圆或外接圆确定的