光纤中的线性偏振模式（LP模）特征方程与截止条件
光纤中的线性偏振模式（LP模）特征方程与截止条件
本篇文章深入探讨了光纤中的线性偏振模式（LP模）的特征方程、截止条件及其数值求解方法。内容基于柯熙政老师的《无限光通信中的空间光——光纤耦合技术》及欧攀老师的《高等光学仿真（MATLAB版）》，适合对光纤通信和光学有深入兴趣的读者。
LP模的简并及其特征方程
通过上一章内容的学习，我们已经知道了LP模的简并度及其模式的特征方程：
注意：此处下标变为了lm，不再是之前内容中的mn。
时，光纤中只存TE模和TM模。当
时，出现的是
和
共存的EH模和HE模。为了区分，将特征方程右端取正号时对应的模式叫BH模，取负号对应的模式称HE模。下面对它们的特征方程进行补充。上一章我们提到了：
在这章中，下标lm进行替换，可得：
由于
，其中
为光波导的横向特征尺寸。则上式可以看成一个仅包含U或W的方程，。对于弱导光纤，认为纤芯与包层折射率极小
，可近似认为
。因此上式化简为：
这就是弱导光纤的近似特征方程。
TE_0m和TM_0m模
光纤中只存在
的TE模和TM模。这是因为根据光纤矢量解表达式知，对于TE模，必有Ez=0，因此有常数A=0，代入式得
式中
不能为零，相位常数
及常数B均不可能为零，因此只能使
。这样就得出结论，光纤中的TE模只能在
的情况下才能存在。同样，可以证明光纤中的TM模也只能在
的情况下才能存在。
在特征方程（3-1）中令
，就可得到TE模和TM模的特征方程：
利用Bessel函数的递推公式
可把上式变换为
这就是TE模和TM模共同的特征方程。
EH模和HE模
当
时，不能出现TE模和TM模，而只能是Ez和Hz同时存在，其中Ez所占的分量大时即为EH模（将特征方程右端取正号），反之为HE模（将特征方程右端取负号）。
因此，EH模的特征方程为
HE模的特征方程为
应用Bessel函数递推公式
简化后的特征方程为:
EH模:
HE模:
综上所述，在光纤中可存在4种类型的模式，分别为TE模、TM模、EH模、HE模。其中TE模、TM模只在
时存在，而BH模、HE模在
时存在。各模式的特征方程可化为仅含一个未知量U（或W）的方程。在给定工作波长情况下，对应于一个L，Bessel函数就会有一系列解，求出的每一个U值的解就对应着一个模式。例如，对于EH模，对应一个l的Bessel函数第m个根所相应的U值解就代表了EH_lm模。因此，若光纤归一化频率V足够大时，光纤中可存在一系列的TE模、TM模和一系列的EH模、HE模。
LP模的截止条件
如前所述，LP_l,m 模是由弱导条件下简并模式HE_l+1,m模和EH_l-1,m模组合而成，它们的传播常数
相同，特征方程等价。HE_l+1,m模和EH_l-1,m模的截止条件就是LP_lm模的截止条件。根据Bessel函数的渐进关系式，可以写出在
时，3种情况下LP_lm模的特征方程如下：
因此在模式截止时，上面3个方程的左边等于0，利用这一判据得到这3种LP模式的截止条件为：
LP模归一化截止频率的数值求解
LP模归一化截止频率是指在光纤中，当某一LP模式的传输特性开始显著下降，即该模式即将无法再维持稳定传输时的归一化频率值。这个频率值标志着该模式在光纤中的有效传输范围。LP模归一化截止频率就是满足上述截止条件式的根，即不同阶数的Bessel函数的根。
Bessel函数的求解已在上一章给出，可以用matlab中的fzero()函数标注出根。