亚里士多德的车轮悖论(图文版)

亚里士多德的车轮悖论(图文版)

亚里士多德的车轮悖论是古希腊时期提出的一个经典物理学问题，它描述了车轮滚动时大圆和小圆运动的差异。这一悖论不仅挑战了人们的直觉，还引发了后世科学家如伽利略的深入研究。本文将通过图文结合的方式，为您揭示这个古老悖论背后的科学原理。

1. 亚里士多德的车轮悖论

下图左侧中的木轮，可以抽象为下图右侧中的两个同心圆，其中大圆代表车轮，小圆代表车轴。

假设大圆的半径为 (R)，小圆的半径为 (r)。当车轮在水平面上无滑动地滚动一圈时，两个圆的底部都会平移相同的距离，即大圆的周长 (2\pi R)，如下图所示。

这意味着，尽管半径不同，两个圆同步旋转一周后，在水平方向上移动的距离都是 (2\pi R)。这个违反直觉的现象正是古希腊哲学家、数学家亚里士多德（如下图左侧所示）在《论力学》（Mechanica）中提出的著名的车轮悖论（如下图右侧所示）。

2. “连滚带爬”

“车轮悖论”的答案其实很简单：大圆是纯滚动，而小圆则是“连滚带爬”，即同时发生滚动和滑动。之前的动图可能让人误以为两者都是纯滚动。下图更清晰地展现了小圆“连滚带爬”的运动：滚动距离为 (2\pi r)，其余为被大圆拖动滑行的距离。

可能同学们仍难以接受“连滚带爬”这个答案，以下将提供两个视角以帮助理解。

2.1 《论两种新科学及其数学演化》

意大利物理学家和数学家伽利略·伽利莱（见下图左侧）在其1638年出版的《论两种新科学及其数学演化》中，讨论了如何解释亚里士多德的车轮悖论（见下图右侧）。

下面用现代语言来阐述一下伽利略的思考。之前学习过，可用正 (n) 边形去近似圆，如下图所示。

随着边数增多，内接正多边形越来越接近圆。考虑到正 (n) 边形和圆的这种关系，我们可以从正六边形车轮的旋转开始分析，尽管这种车轮在平坦的路面上行驶会不太舒适。给车轮上的大、小六边形分别涂上不同颜色的油漆，如下图所示。当车轮滚动一圈后，大六边形的底边会在水平线上留下连续的油漆痕迹，而小六边形的底边只能在水平线上留下间断的油漆印记。

再来看看更接近圆的正十四边形的车轮。同样的，如下图所示，大十四边形的底边在水平线上留下了连续的油漆痕迹，而小十四边形的底边则仅留下了间断的油漆印记。

根据上述分析，伽利略断言，当 (n \to \infty) 时，即圆形车轮滚动时，大圆底边在水平线上留下的是连续的油漆痕迹，而小圆底边留下的是间断的油漆印记，如下图所示。

伽利略进一步解释说，大圆留下的连续漆痕表明大圆始终紧贴水平线进行纯滚动；而小圆留下的间断漆痕则意味着小圆在水平线上同时进行滚动和滑动，也就是“连滚带爬”。

2.2 摆线

再来看一种理解方式。分别观察上述圆形车轮的圆心、大圆上的某定点、小圆上的某定点的运动轨迹，如下图所示，

• 圆心的运动轨迹是直线，这说明圆心是纯滑动
• 大圆上的某定点的运动轨迹是摆线（具有摆线特有的不可导点，或者说尖点），结合上一节介绍的摆线知识，这说明大圆是纯滚动
• 小圆上的某定点的运动轨迹既非摆线（没有摆线特有的尖点），也非直线，介于两者之间，这说明小圆是在“连滚带爬”（仿照上一节的例题可推出其运动轨迹对应的方程式，这里不再赘述）