调和平均数：定义、计算及应用场景
调和平均数：定义、计算及应用场景
调和平均数是一种特殊的平均数形式，它更强调较小数值的影响，在某些情况下比算术平均数更适合反映数据的综合情况。本文将通过具体例子和详细推导，帮助读者理解调和平均数的概念及其应用场景。
调和平均数
1. 调和速度公式
事情是这样的：
当我在学习目标检测的指标时，有一个指标是 F1 Score，它是两个更加基本的指标 Precision 和 Recall 的调和平均值。于是想起来，好像在考研或者是高考的时候接触过这个概念，但具体想不起来了。
调和平均数（Harmonic Mean）是一种特殊的平均数形式，它更强调较小数值的影响，因此在某些情况下比算术平均数更适合反映数据的综合情况。调和平均数特别适用于那些多个因素之间需要平衡，但不希望其中某一个因素过度影响整体结果的场景。
其中，调和平均数是这些数值的倒数的平均数的倒数。
调和平均值的应用：
速度计算: 如果你开车从一个地点到另一个地点，并在前半程以速度v 1 v1v1行驶，在后半程以速度v 2 v2v2行驶，那么总的平均速度更适合用调和平均来计算，而不是算术平均。因为调和平均更能反映行驶过程中每个路段速度的实际贡献。
对这个速度计算的方式颇感兴趣，想着这个有实际背景，易于理解，于是接着问：“举一个速度计算的调和平均的例子”
假设你在两段路程中行驶，想计算整体的平均速度。调和平均数适用于这种情形，因为它能够正确反映行驶过程中每一段速度的影响。
场景描述
- 第一段路程: 你以60公里/小时的速度行驶30公里。
- 第二段路程: 你以90公里/小时的速度行驶30公里。
计算总时间
首先，我们计算每一段路程所花费的时间：
第一段时间:
t 1 = 路程 速度 = 30 公里 60 公里/小时 = 0.5 小时 t_1 = \frac{\text{路程}}{\text{速度}} = \frac{30 \text{公里}}{60 \text{公里/小时}} = 0.5 \text{小时}t1 =速度路程 =60公里/小时30公里 =0.5小时第二段时间:
t 2 = 30 公里 90 公里/小时 = 1 3 小时 ≈ 0.333 小时 t_2 = \frac{30 \text{公里}}{90 \text{公里/小时}} = \frac{1}{3} \text{小时} \approx 0.333 \text{小时}t2 =90公里/小时30公里 =31 小时≈0.333小时
计算总路程和总时间
- 总路程:30 公里 + 30 公里 = 60 公里 30公里 + 30公里 = 60公里30公里+30公里=60公里
- 总时间:0.5 小时 + 0.333 小时 = 0.833 小时 0.5小时 + 0.333小时 = 0.833小时0.5小时+0.333小时=0.833小时
计算算术平均速度
如果我们简单地使用算术平均速度（而不考虑实际时间），我们会得到：
算术平均速度 = 60 公里/小时 + 90 公里/小时 2 = 150 公里/小时 2 = 75 公里/小时 \text{算术平均速度} = \frac{60 \text{公里/小时} + 90 \text{公里/小时}}{2} = \frac{150 \text{公里/小时}}{2} = 75 \text{公里/小时}算术平均速度=260公里/小时+90公里/小时 =2150公里/小时 =75公里/小时
但这个算术平均值并不能正确反映你在这两个不同速度段上的实际行驶情况，因为它忽略了在不同速度段花费的时间差异。
计算调和平均速度
调和平均速度能够更准确地反映你的整体行驶速度。调和平均速度的计算公式为：
调和平均速度 = 2 × v 1 × v 2 v 1 + v 2 \text{调和平均速度} = \frac{2 \times v_1 \times v_2}{v_1 + v_2}调和平均速度=v1 +v2 2×v1 ×v2
其中v 1 = 60 公里/小时 v_1 = 60 \text{公里/小时}v1 =60公里/小时和v 2 = 90 公里/小时 v_2 = 90 \text{公里/小时}v2 =90公里/小时。
代入计算：
调和平均速度 = 2 × 60 × 90 60 + 90 = 10800 150 = 72 公里/小时 \text{调和平均速度} = \frac{2 \times 60 \times 90}{60 + 90} = \frac{10800}{150} = 72 \text{公里/小时}调和平均速度=60+902×60×90 =15010800 =72公里/小时
这个 72 公里/小时的调和平均速度更准确地反映了你在两个速度段之间的整体行驶速度，因为它考虑了每一段路程所花费的时间。
看见调和平均速度的公式，激动不已，似老朋友相见，这不就是是初中时候的平均速度公式吗。原来是调和平均。
顺便回顾了一下当时的推导过程：
场景设置
假设你有一个物体先后经过两段相等的路程（每段路程都为d dd），在第一段路程上的速度为v 1 v_1v1 ，在第二段路程上的速度为v 2 v_2v2 。我们要计算物体在这两段路程上的平均速度。
1. 计算每段路程的时间
第一段路程:
t 1 = d v 1 t_1 = \frac{d}{v_1}t1 =v1 d第二段路程:
t 2 = d v 2 t_2 = \frac{d}{v_2}t2 =v2 d
2. 计算总时间
物体经过这两段路程的总时间为：
t 总 = t 1 + t 2 = d v 1 + d v 2 t_{\text{总}} = t_1 + t_2 = \frac{d}{v_1} + \frac{d}{v_2}t总 =t1 +t2 =v1 d +v2 d
3. 计算总路程
总路程为两段路程的和：
d 总 = d + d = 2 d d_{\text{总}} = d + d = 2dd总 =d+d=2d
4. 定义平均速度
平均速度v 平均 v_{\text{平均}}v平均 定义为总路程除以总时间：
v 平均 = d 总 t 总 = 2 d d v 1 + d v 2 = 2 1 v 1 + 1 v 2 = = 2 × v 1 × v 2 v 1 + v 2 v_{\text{平均}} = \frac{d_{\text{总}}}{t_{\text{总}}} = \frac{2d}{\frac{d}{v_1} + \frac{d}{v_2}} = \frac{2}{\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2}} = = \frac{2 \times v_1 \times v_2}{v_1 + v_2}v平均 =t总 d总 =v1 d +v2 d 2d =v1 1 +v2 1 2 ==v1 +v2 2×v1 ×v2
这这这！！！中间的不就是倒数的平均数的倒数。
这个公式表明，当一个物体以两种不同的速度v 1 v_1v1 和v 2 v_2v2 分别行驶相等的路程时，其整体的平均速度并不是的v 1 v_1v1 和v 2 v_2v2 算术平均，而是调和平均。这个推导过程展示了为何在这种情形下使用调和平均能够更准确地反映物体的整体运动特性。尽管初中的物理课本可能并没有明确提到“调和平均”这个概念，但通过这种推导过程，学生实际上已经使用了调和平均的思想。
总结
调和平均数（Harmonic Mean）是一种特殊的平均数形式——倒数平均数的倒数，它更强调较小数值的影响，因此在某些情况下比算术平均数更适合反映数据的综合情况。
2.平均数不等式
但是想不起来什么时候接触过调和平均数这个概念，绞尽脑汁下，终于想起来，学不等式的时候。
几个平均数的不等关系：调和平均数≤ \leq≤几何平均数≤ \leq≤算数平均数≤ \leq≤均方不等式
2 a b a + b ≤ a b ≤ a + b 2 ≤ a 2 + b 2 2 \frac{2ab}{a+b} \leq \sqrt{ab} \leq \frac{a+b}2 \leq \sqrt{\frac{a^2 + b^2}2}a+b2ab ≤ab ≤2a+b ≤2a2+b2
其中，a aa,b bb为正整数。
从这个不等式也可以看出调和平均数更强调较小数值的影响。
完整的：
调和平均数（Harmonic Mean, H）
H = n 1 x 1 + 1 x 2 + ⋯ + 1 x n H = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \dots + \frac{1}{x_n}}H=x1 1 +x2 1 +⋯+xn 1 n几何平均数（Geometric Mean, G）
G = x 1 × x 2 × ⋯ × x n n G = \sqrt[n]{x_1 \times x_2 \times \dots \times x_n}G=nx1 ×x2 ×⋯×xn算数平均数（Arithmetic Mean, A）
A = x 1 + x 2 + ⋯ + x n n A = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}A=nx1 +x2 +⋯+xn均方平均数（Quadratic Mean, Q 或 RMS）
Q = x 1 2 + x 2 2 + ⋯ + x n 2 n Q = \sqrt{\frac{x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2}{n}}Q=nx12 +x22 +⋯+xn2
H ≤ G ≤ A ≤ Q H \leq G \leq A \leq QH≤G≤A≤Q
其中x 1 , x 2 , ⋯ , x n x_1, x_2, \cdots, x_nx1 ,x2 ,⋯,xn 为正整数。
总结
- 均方平均数强调较大值的影响更多，因此通常是四者中最大的。
- 算术平均数是对数值的均等贡献的平均。
- 几何平均数是对乘积的均等贡献的平均，适用于处理比率和比例。
- 调和平均数强调较小值的影响更多，通常是四者中最小的。