雅可比矩阵及其行列式的几何意义

雅可比矩阵及其行列式的几何意义

雅可比矩阵是线性代数和微积分的纽带，是将非线性问题转化为线性问题的重要工具。本文将从几何角度深入探讨雅可比矩阵及其行列式的本质意义，并通过一个具体的二重积分例子，展示其在实际问题中的应用。

雅可比矩阵及其行列式的几何意义

雅可比矩阵在数学中占据着重要地位，它不仅是线性代数和微积分的桥梁，更是解决非线性问题的关键工具之一。让我们从一个由 $n$ 个函数组成的函数方程组开始探讨：

$$
\begin{cases}
y_1 = f_1(x_1, x_2, \cdots, x_n) \
y_2 = f_2(x_1, x_2, \cdots, x_n) \
\vdots \
y_n = f_n(x_1, x_2, \cdots, x_n)
\end{cases}
$$

这个方程组可以从两个角度进行解释：一是映射的角度，即将点 $(x_1, x_2, \cdots, x_n)$ 映射到 $(y_1, y_2, \cdots, y_n)$；二是坐标变换的角度，即将以 $y_1, y_2, \cdots, y_n$ 为自变量的方程转换到以 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 为自变量的坐标系中。这两个解释本质上是一致的，只是观察角度不同。

为了将非线性方程组转化为线性方程组，我们可以利用微积分中的微分概念。对上述方程组进行偏微分，得到：

$$
\begin{cases}
dy_1 = \frac{\partial f_1}{\partial x_1} dx_1 + \frac{\partial f_1}{\partial x_2} dx_2 + \cdots + \frac{\partial f_1}{\partial x_n} dx_n \
dy_2 = \frac{\partial f_2}{\partial x_1} dx_1 + \frac{\partial f_2}{\partial x_2} dx_2 + \cdots + \frac{\partial f_2}{\partial x_n} dx_n \
\vdots \
dy_n = \frac{\partial f_n}{\partial x_1} dx_1 + \frac{\partial f_n}{\partial x_2} dx_2 + \cdots + \frac{\partial f_n}{\partial x_n} dx_n
\end{cases}
$$

这一步骤将每个超曲面近似为超平面，从而将非线性方程组转化为线性方程组。将其写成矩阵形式：

$$
\begin{pmatrix}
dy_1 \
dy_2 \
\vdots \
dy_n
\end{pmatrix}

\begin{bmatrix}
\frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \frac{\partial f_1}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n} \
\frac{\partial f_2}{\partial x_1} & \frac{\partial f_2}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f_2}{\partial x_n} \
\vdots & \vdots & & \vdots \
\frac{\partial f_n}{\partial x_1} & \frac{\partial f_n}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f_n}{\partial x_n}
\end{bmatrix}
\begin{pmatrix}
dx_1 \
dx_2 \
\vdots \
dx_n
\end{pmatrix}
$$

这就是雅可比矩阵的定义。雅可比行列式则是雅可比矩阵的行列式。雅可比矩阵具有以下两个特殊性质：

1. 向量的元素如 $dx_1, dy_1$ 等是微分，它们是一些极小量，且是极小的向量；$dx_i$ 是在 $x_i$ 坐标轴上的微分向量，$dy_i$ 是在 $y_i$ 坐标轴上的微分向量。
2. 雅可比矩阵里面的元素如 $\frac{\partial f_1}{\partial x_1}, \frac{\partial f_n}{\partial x_n}$ 等一般不是常数，而是变量。

结合矩阵的坐标系变换意义，我们可以得出雅可比矩阵和行列式的最终几何意义：

• 雅可比矩阵把一个超平面的仿射坐标系变换成了一个超曲面坐标系；
• 雅可比行列式就是曲面坐标系下单位微元和仿射坐标系下单位微元面积的比值。

换句话说，雅可比矩阵把一个空间里的一个平面坐标系（基）变换成了无数个极小平面坐标系（基）；无数个极小平面就是曲面的切平面；雅可比行列式就是切平面上每个坐标系下极小单位元和原坐标系下极小单位元面积的比值。

雅可比矩阵在二重积分中的应用例子

为了更好地理解雅可比矩阵的应用，我们来看一个具体的二重积分例子：

计算二重积分 $\iint_D \left(\frac{y}{x}\right)^2 dx dy$，其中 $D$ 是由曲线 $y=x, y=3x, xy=1, xy=5$ 所围成的第一象限部分的区域。

常规解法

常规的解法是在默认的直角坐标系 ${0, x, y, z}$ 中进行积分，其积分区域必须分为 $D=D_1+D_2+D_3$ 三个区域（见图 5-60）。先进行 $dy$ 积分，然后再进行 $dx$ 积分。

坐标变换解法

通过引入新的变量 $u=\frac{y}{x}$ 和 $v=xy$，我们可以将原方程组转化为：

$$
\begin{cases}
x=\sqrt{\frac{v}{u}} \
y=\sqrt{uv}
\end{cases}
$$

这个变换函数组是非线性的，无法直接写成矩阵和向量的形式。因此，我们对其进行偏微分，得到雅可比矩阵：

$$
J =
\begin{bmatrix}
-\frac{1}{2u}\sqrt{\frac{v}{u}} & \frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{uv}} \
\frac{1}{2}\sqrt{\frac{v}{u}} & \frac{1}{2}\sqrt{\frac{u}{v}}
\end{bmatrix}
$$

雅可比行列式为：

$$
|J| = -\frac{1}{2u}
$$

由于雅可比行列式看起来为负值，是因为微分向量 $du, dv$ 的叉积方向与 $dx, dy$ 的叉积方向相反。但在实际计算中，我们通常取雅可比行列式的绝对值。

经过坐标变换后，原积分区域 $D$ 变为 $D'={(u,v) \mid 1 \leq u \leq 3, 1 \leq v \leq 5}$，积分变为：

$$
\iint_D \left(\frac{y}{x}\right)^2 dx dy = \iint_{D'} \left(\frac{y(u,v)}{x(u,v)}\right)^2 |J| du dv = \iint_{D'} u^2 \left(-\frac{1}{2u}\right) du dv = -\int_1^3 \frac{1}{2}u du \int_1^5 dv = -8
$$

几何解释

在直角坐标系下，单位边长的浅色方块表示单位面积元，深色的小方块表示面积微元 $dx dy$。在经过坐标替换 $u=\frac{y}{x}, v=xy$ 后，原来的直角-直线坐标系被替换成了直线-曲线坐标系：直线轴是一簇经过原点的直线 ${y/x=u \mid u$ 为不同的常数 $}$，曲线轴是一簇双曲线 ${xy=v \mid v$ 为不同的常数 $}$（见图 5-61 (b)）。

图 5-61 (b) 中坐标线所围成的浅色单位面积元是个曲线四边形，它的面积微元 $du dv$ 是由过同一点的曲线的切线微分 $du, dv$ 叉积张成的，这是一个深色的小平行四边形。因为 $du, dv$ 都是向量，因此也是有向面积微元。

面积微元 $du dv$ 的意思就是当这个曲线坐标轴的单位长度在取小极限时，其曲边形的面积就等于两个曲线的切线段所张成的平行四边形的面积。

因此，雅可比矩阵和行列式的几何意义可以总结为：

• 二阶雅可比矩阵的几何意义就是把标准直角坐标系下的微分正方形 $dx dy$ 变换成了曲线坐标系下的微分平行四边形 $du dv$；
• 二阶雅可比行列式的几何意义就是由标准直角坐标系下的微分正方形 $dx dy$ 所表示的面积微元变换到了曲线坐标系下的微分平行四边形 $du dv$ 所表示的面积微元之比率。

对于三阶雅可比矩阵和行列式，其几何意义可以类推：

• 三阶雅可比矩阵的几何意义就是把标准直角坐标系下的微分立方体 $dx dy dz$ 变换成了曲线坐标系下的微分平行六面体 $du dv dw$；
• 三阶雅可比行列式的几何意义就是由标准直角坐标系下的微分立方形 $dx dy dz$ 所表示的体积微元变换到了曲线坐标系下的微分平行六面体 $du dv dw$ 所表示的体积微元之比率。

更有趣的是，曲线坐标系实际上被无数个仿射（直线）坐标系所替代或模拟。随着积分区域内积分点的移动，点上的沿着曲线的切线在变化（方向在变换），因此切线上的微分向量 $du, dv$ 也在变化（方向在变换），由 $du, dv$ 构成的仿射坐标轴 ${du, dv}$ 也在变化，也就是微分的仿射坐标系在不停地变换。

如图 5-62 所示，如果遍历整个积分区域的点，将有无数个微小的仿射坐标系 ${du, dv}$ 出现。显然，随着 $u$ 值的变大，点会向上移动，点的切线顺时针旋转，因此 $du dv$ 的夹角变小，积分微元的面积大小也会变小，这正是雅可比行列式函数 $|J|=-\frac{1}{2u}$ 所描述的现象。

一句话总结，雅可比矩阵行列式 $|J|=\begin{vmatrix}
-\frac{1}{2u}\sqrt{\frac{v}{u}} & \frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{uv}} \
\frac{1}{2}\sqrt{\frac{v}{u}} & \frac{1}{2}\sqrt{\frac{u}{v}}
\end{vmatrix}$ 由于其元素是变量或函数，因此雅可比矩阵 $J$ 实际上包含有无数个具体的变换矩阵，随着点 $(u,v)$ 的改变，此点附近的积分微元图形也被矩阵不停地变换着。