信号与系统学习笔记：LTI系统与卷积的推导
信号与系统学习笔记：LTI系统与卷积的推导
什么是LTI系统
LTI系统定义：满足线性系统和时不变系统定义的系统。（Linear and Time-invariant System）
胡老师的观点1：物理世界没有LTI系统。
个人认为还是有的，物理定律满足时不变系统，它要求时间上是对称的，今天成立的东西，明天也要成立。系统：
有质量物体速度超过光速的概率x(t) ---> 0
；这满足时不变和叠加性和齐次性。证明：已知len(x_1[n]) = N_1， len(x_2[n])= N_2，证明len(x_1[n]*x_2[n]) = N_1 + N_2 - 1：
x_1[n] 在坐标系中为[a_1,b_1]，x_2[n] 在坐标系中为[a_2,b_2]
则N_1 = b_1 - a_1 + 1；N_2 = b_2 - a_2 + 1，
在坐标系中x_1[n]*x_2[n] 最右边为b_2 + b_1，最左边为 a_1 + b_1：
len(x_1[n] * x_2[n]) = b_2 + b_1 - ( a_2 + a_1) + 1
= b_2 - a_2 + b_1 - a_1 + 1
= N_2 + N_1 - 1结论：len(x_1[n]) = N_1，那么列表法x_1[n] * x_1[n]的时间复杂度为O(N^2)，用快速傅里叶变换，时间复杂度为O(N*log(N))
证明：卷积公式x[n] * h[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty}x[k]h[n-k]
\mu[n] \rightarrow h[n]\
\mu[n-k] \rightarrow h[n-k] (时不变)\
x[k]\mu[n-k] \rightarrow x[k]hn-k\
\sum_{k = -\infty}^\infty x[k]\mu[n-k] \rightarrow \sum_{k = -\infty}^\infty x[k]hn-k\
\because x[n] = \sum_{k = -\infty}^\infty x[k]\mu[n-k] \
\therefore x[n] \rightarrow \sum_{k = -\infty}^\infty x[k]h[n-k]\
既 x[n]*h[n] = \sum_{k = -\infty}^\infty x[k]h[n-k]
卷积计算的方法
\sum_{k=-\infty}^\infty x[k]h[n-k] = \sum_{k=-\infty}\infty x[k]h[-(k-n)]
可以看出y[n] = h[n] 翻转后右移动n个单位，然后h[n]作为行向量和x[n]作为列向量求向量积为y[n]。
通过定义去推导卷积公式的方法
LTI思想的出现，基本就意味着卷积的出现甚至LTI出现的时候卷积已经成熟，发展到今天已经成为了人工智能的重要工具。从信号与系统的角度思考，人工智能可以理解为在抽象世界中绝对成立的数学系统，该系统用物理法则限制输入，这保证了该系统的输出符合物理法则，也符合人类需求。