考研数一复习之拉格朗日中值定理求解函数极限
考研数一复习之拉格朗日中值定理求解函数极限
拉格朗日中值定理是考研数学中求解函数极限的重要工具之一。本文将从极限考点、函数极限求解技巧等方面，详细讲解拉格朗日中值定理在求解函数极限中的应用，并通过具体例题帮助读者掌握这一方法。此外，本文还将介绍如何使用Python中的sympy库来验证求解结果。
极限考点
就一元函数极限来说,其在数一中常见的考点如下:
其中,无论是数列还是函数,极限值的求解往往是每年必出的题目。
函数极限求解技巧
- 函数极限性质
- 重要极限
- 等价无穷小
- 洛必达法则
- 拉格朗日中值定理
- 泰勒公式
这里要说明的是，在求解极限时，根据自变量的取值,我们可以将其分为：自变量趋于无穷大的极限,自变量趋于0的极限以及自变量趋于有限值x0的极限这三类。但是，实际上这三类在数一函数极限考察的范围内，最后统统都可以转换为自变量趋于0的极限。这是因为函数极限的求解中只有当自变量x趋于0时，泰勒公式才可以使用。而泰勒公式又是上边六种方法中的重点考察对象。毫不夸张地说，整个高数上册的极限都是围绕它所展开,实际上，数一中的函数极限题目，只要你愿意，没有什么是泰勒展开一下解决不了的。
拉格朗日中值定理回顾
拉格朗日中值定理:
设
在闭区间
上连续,在开区间
内可导,则至少存在一点
使
.
说明
拉格朗日中值定理的几何意义实际上就是若连续曲线**
，在点
,**
之间的每一点处都有不垂直于x轴的切线**(函数在开区间
内可导),则曲线在A,B之间至少存在一点
使得该点处的切线与割线AB平行,**即二者斜率相等。
拉格朗日中值定理拓展到化简函数极限
设三函数
都满足拉格朗日中值定理成立条件,那么：
其中,
介于
与
之间。
注意,若
，C为任意不为0常数，那么直接将其替换为C即可。
若
且
或
,那么
可以看做关于x的函数,接着使用等价无穷小或泰勒公式展开来计算其结果。
以上便是拉格朗日定理求解函数极限的精髓。这里要注意的是，拉格朗日中值定理主要用来化简极限，并不能直接求解极限。
常见误区
在使用拉格朗日中值定理'化简'极限时，有三个坑要避开,主要集中在:
- 原极限形式上不满足能够使用拉格朗日中值定理的样式。
- 极限结果为0或无穷时的处理方法。
- g(x)与h(x)不能为同一个函数的简单线性变换,比如g(x)=2x,h(x)=x。
例题
例子是最好的学习工具，接下来我将分享四道题目来阐明这一定理的常见误区,并给出每一步的详细结果。最后，我们还将使用python中的sympy库来求解上述四道极限题目来验证我们求解结果正确与否。
f'(ξ)极限结果=0,需要考虑替换为x后等价无穷小或泰勒公式求解:
- 解： 原式=
其中
原式=
其中,
介于
与
之间
即
原式=
sympy验证:
import sympy as sp
'''
sp.limit()函数参数详解:
e:极限表达式,使用定义过的变量和sp.函数名来书写
z:极限自变量
z0:极限自变量趋于的值
dir:左极限还是右极限,用'+','-'表示
'''
#定义x与y这两个符号变量
x=sp.Symbol('x')
y=sp.Symbol('y')
#极限表达式
expression=(sp.cos(sp.sin(x))-(sp.cos(x)))/(x**4)
print(f'原式极限={sp.limit(e=expression,z=x,z0=0)}')#使用sp.limit求解
结果:
f'(ξ)极限结果=C(C≠0),直接带入
- 原式=
原式=
原式=
原式=
原式=
其中,
介于
与
之间
即
原式=
原式=
sympy验证
import sympy as sp
x=sp.Symbol('x')
sp.init_printing()#latex格式,分数输出后更好看一些
expressions=(sp.exp(x**2)-sp.exp(2-2*sp.cos(x)))/x**4
result=sp.limit(expressions,x,0)
result
结果：
f'(ξ)极限结果=无穷,需要考虑替换为x后等价无穷小或泰勒公式求解:
错误做法：
注意到
分子上的函数形式上应为
幂函数,且
原式=
原式=
其中，
原式=
其中,
介于
与
之间
即
原式=
正确做法:原式=
原式=
原式=
原式=
原式=
其中,
介于
与
之间
即
原式=
原式=
sympy验证:
import sympy as sp
sp.init_printing()
x=sp.Symbol('x')
expression=(x**x-sp.sin(x)**x)/(x**2*sp.atan(x))
result=sp.limit(expression,x,0)
result
结果
错误做法错在过早的使用拉格朗日中值定理化简极限表达式,导致
极限结果难于化简变形。
无法使用拉格朗日中值定理化简情形
- 错误做法:
原式=
其中,
介于
与
之间
即
原式=
=-1
正确做法:
洛必达:
原式=
原式=
原式=
等价无穷小:
原式=
原式=
原式=
sympy验证:
import sympy as sp
sp.init_printing()
x=sp.Symbol('x')
expression=(sp.cos(2*x)-sp.cos(x))/(x**2)
result=sp.limit(expression,x,0)
result
结果：
出现这种错误的原因我们前边提到过,f{x)内部嵌套的函数g(x)与h(x)不能为同一类型函数的线性变换,如果直接使用,极有可能出错！
总结
以上便是使用拉格朗日中值定理化简极限时所有需要注意的地方，看完这篇文章，相信你又将掌握一个求极限的利器。