牛顿迭代法：快速逼近方程解的数值方法

牛顿迭代法：快速逼近方程解的数值方法

引用

CSDN

1.

https://m.blog.csdn.net/m0_67213461/article/details/145663608

牛顿迭代法是一种用于快速逼近方程解的数值方法，特别适合求解复杂的方程或优化问题。本文将详细介绍牛顿迭代法的基本原理，并通过一个具体的编程案例来展示其应用。

一、定义

牛顿迭代算法是一种用来快速逼近方程解的方法，特别适合求解复杂的方程或优化问题。它的核心思想是通过不断“猜测”并改进猜测值，最终接近真实解。

基本思路：

1. 初始猜测：先随便猜一个解，比如x0 。
2. 改进猜测：

• 利用函数的导数（即斜率）来调整猜测值。
• 新的猜测值 x1 通过以下公式计算：
  
  其中：
• f(x0 ) 是函数在 x0 处的值。
• f′(x0 ) 是函数在 x0 处的导数（斜率）。

3. 重复迭代：用新的猜测值 x1 继续计算，直到结果足够接近真实解。

举例：

假设我们想求方程 f(x)=x^2−2=0的解（即 根号2 ）。

1. 初始猜测：猜x0 =1。
2. 第一次迭代：

• 计算 f(x0 )=1^2−2=−1。
• 计算导数 f′(x0 )=2×1=2。
• 更新猜测值：
  x1 =1−((-1)/2) =1.5

3. 第二次迭代：

• 计算f(x1 )=1.5^2−2=0.25。
• 计算导数 f′(x1 )=2×1.5=3。
• 更新猜测值：
  x2 =1.5−(0.25/3) ≈1.4167

4. 继续迭代：重复上述过程，直到结果足够精确。

优点：

• 快速收敛：如果初始猜测值接近真实解，牛顿法可以非常快地逼近解。
• 通用性强：适用于求解非线性方程、优化问题等。

缺点：

• 依赖初始值：如果初始猜测值离真实解太远，可能无法收敛。
• 需要导数：必须知道函数的导数，否则无法使用。

二、举例

下面是一个使用牛顿迭代法计算平方根的Java代码示例：

public class demo01 {
    public static void main(String[] args) {
        System.out.println(newton(24));
    }
    public static int newton(int x){
       if (x==0){
           return 0;
       }
       return (int)sqrt(x,x);
    }
    public static double sqrt(double i,int x){
        double res = (i+x/i)/2;
        if (res == i){
            return i;
        }else {
            return sqrt(res,x);
        }
    }
}

这个示例展示了如何使用递归实现牛顿迭代法来计算一个数的平方根。通过不断迭代，可以得到越来越精确的结果。