矩阵的基本概念
矩阵的基本概念
矩阵是线性代数中的基本概念，广泛应用于科学计算、工程、物理等领域。本文将系统地介绍矩阵的基本概念，包括矩阵的定义、同型矩阵与矩阵相等的条件、矩阵与行列式的区别，以及一些特殊类型的矩阵。
第二章 矩阵
2.1 矩阵的基本概念
2.1.1 矩阵的定义
矩阵是一个由数排列成的矩形数组，它往往用于表示线性方程组的系数和常数项。对于一个包含 $n$ 个未知数和 $m$ 个方程的线性方程组，如果略去其未知数 $x_1, x_2, \ldots, x_n$，仅考虑对应的系数和右端项，可以将它们按顺序排成如下矩形数表：
$$
\begin{array}{cccc|c}
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} & b_1 \
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} & b_2 \
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \
a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} & b_m \
\end{array}
$$
这种矩形数表称为矩阵。我们通常用大写字母 $A, B$ 或其他符号来表示矩阵。因此，上述矩阵可以记作 $A=(a_{ij})_{m \times n}$，其中 $i=1, 2, \ldots, m$，$j=1, 2, \ldots, n$。
2.1.2 矩阵的基本概念
定义：由 $m \times n$ 个数 $a_{ij}$（$i=1, 2, \ldots, m\；j=1, 2, \ldots, n$）排成的一个 $m$ 行 $n$ 列的矩形数表称为矩阵。常用大写字母 $A, B$ 或其他符号表示矩阵。上述矩阵可以记作 $A=(a_{ij})_{m \times n}$。
如果矩阵 $A$ 和 $B$ 的行数和列数分别相等，则称 $A$ 和 $B$ 为同型矩阵。对于同型矩阵 $A=(a_{ij})$ 和 $B=(b_{ij})$，如果它们对应的元素相等，则称矩阵 $A$ 与 $B$ 相等，记为 $A=B$。
例如，考虑以下矩阵：
$$
\begin{pmatrix}
x & 2 & 1 \
1 & y & 0 \
0 & 0 & z \
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
3 & 2 & 1 \
1 & 2 & 0 \
0 & 0 & -8 \
\end{pmatrix}
$$
由此即得 $x=3, y=2, z=-8$。
矩阵与行列式的区别
必须注意，矩阵和行列式完全不是一个概念。行列式是一个算式，表示一个数且其行数和列数必相等，而矩阵是一个数表，它的行数和列数可以不相等。
当然，行列式和矩阵也有一定联系。对于 $n$ 阶方阵 $A$，通常用 $|A|$ 或 $\text{det}A$ 表示方阵 $A$ 的行列式。当 $\text{det}A=0$ 时，称 $A$ 为奇异矩阵；当 $\text{det}A \neq 0$ 时，称 $A$ 为非奇异矩阵。
2.1.3 一些特殊类型的矩阵
下面介绍一些常见的特殊矩阵类型：
行矩阵与列矩阵：形如 $A=(a_{11}, a_{12}, \ldots, a_{1n})$ 的 1 行 $n$ 列矩阵称为行矩阵；形如 $A=\begin{pmatrix} a_{11} \ a_{21} \ \vdots \ a_{m1} \end{pmatrix}$ 的 $m$ 行 1 列矩阵称为列矩阵。
零矩阵：如果 $a_{ij}=0$（对于所有 $i$ 和 $j$），则称矩阵 $A$ 为零矩阵。零矩阵通常记为 $O$。不同型的零矩阵 $O$ 一般是不同的。
对角矩阵：如果 $n$ 阶方阵 $A$ 除主对角线上的元素外，其余元素全为 0，则称 $A$ 为对角矩阵。记作 $A=\text{diag}(a_1, a_2, \ldots, a_n)$。
单位矩阵：如果对角矩阵 $A$ 的对角线元素全为 1，则称 $A$ 为单位矩阵。单位矩阵通常记为 $I$ 或 $E$。
对称矩阵与反对称矩阵：对于 $n$ 阶方阵 $A=(a_{ij})$，如果 $a_{ij}=a_{ji}$（对于所有 $i$ 和 $j$），则称 $A$ 为对称矩阵；如果 $a_{ij}=-a_{ji}$，则称 $A$ 为反对称矩阵。
三角形矩阵：对于 $n$ 阶矩阵 $A$，如果矩阵 $A$ 的所有元素都在主对角线及其上方（或下方），则称 $A$ 为上（或下）三角形矩阵。
上三角矩阵的形式为：
$$
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \
0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \
0 & 0 & \cdots & a_{nn} \
\end{pmatrix}
$$
下三角矩阵的形式为：
$$
\begin{pmatrix}
a_{11} & 0 & \cdots & 0 \
a_{21} & a_{22} & \cdots & 0 \
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \
\end{pmatrix}
$$
- 阶梯形矩阵与最简形矩阵：一个矩阵满足以下两个条件时，称其为行阶梯形矩阵：
- 所有全零行（如果有的话）均在非全零行的下方。
- 每个非全零行的第一个非零元素称为主元，且主元所在列的下标随着行数的增加而严格递增。
例如，矩阵
$$
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \
0 & 5 & 0 & 8 \
0 & 0 & 0 & 0 \
\end{pmatrix}
$$
是行阶梯形矩阵。
最简形矩阵是指在行阶梯形矩阵的基础上，满足以下两个条件的矩阵：
- 每个主元均为 1。
- 每个主元所在列的其他元素全为 0。
例如，矩阵
$$
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \
0 & 1 & 0 \
0 & 0 & 1 \
\end{pmatrix}
$$
是行最简形矩阵。