指标加权评价方法详解：AHP、熵权法与TOPSIS
指标加权评价方法详解：AHP、熵权法与TOPSIS
在数据分析和决策过程中，如何科学地对多个指标进行加权评价是一个常见且重要的问题。本文将介绍三种常用的指标加权评价方法：层次分析法（AHP）、熵权法和优劣解距离法（TOPSIS），并详细阐述其原理和计算步骤。
层次分析法（Analytic Hierarchy Process, AHP）
层次分析法是一种系统化、层次化的决策分析方法，通过建立判断矩阵来确定各指标的权重。具体原理和计算方法可以参考这篇文章。
熵权法
原理
熵权法是根据变量（指标）中信息的多少对变量（指标）加权的方法。对变量包含信息多少的度量，采用的是信息熵e_j。当数据按均匀分布分散时熵值最大（此时该变量的价值很小），当数据集中在一个值上时熵值为0（此时该变量价值高），因此，我们利用1-e_j对各变量加权。
计算方法
- 构建原始数据矩阵
设有 m个评价对象，n个评价指标，构建原始数据矩阵：
xij 表示第 i个评价对象在第 j个指标上的取值。
- 数据标准化
由于各指标可能具有不同的量纲，需要对数据进行标准化处理，使其无量纲化，便于比较。正向指标（值越大越好）：
负向指标（值越小越好）：
中间型指标（有最优值 xj*）：
- 计算各指标的比重
根据标准化后的数据，计算第 i个评价对象在第 j个指标上的比重：
- 计算信息熵
根据各评价对象的比重 pij 计算第 j个指标的信息熵：
- 计算权重
根据信息熵 ej计算第 j个指标的权重：
- 综合评价
利用计算得到的权重 wj， 对每个评价对象的综合得分进行加权计算：
其中：
Si 表示第 i 个评价对象的综合得分；综合得分越高，表示评价对象的表现越好。
Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution(TOPSIS, 优劣解距离法)
原理
TOPSIS法是一种常用的综合评价方法，能够充分利用原始数据的信息，精确地反映各评价方案之间的差距。之前在层次分析法中，我们发现评价的决策层不能够太多，否则判断矩阵和一致矩阵差距可能会很大。同时，如果决策层中指标的数据是已知的，那么层次分析法也很难利用这些初始数据，来使评价更加准确。TOPSIS法特别适合具有多组评价对象时，要求通过检测评价对象与最优解和最劣解的距离来进行排序。
计算方法
- 构建原始数据矩阵
设有 m个评价对象，n个评价指标，构建原始数据矩阵：
xij 表示第 i个评价对象在第 j个指标上的取值。
- 数据正值化
采用合适的方法处理X，使其分量都大于0.
极大型（效益型）指标、极小型（成本型）指标、中间型指标、区间型指标。
- 标准化
对正向化矩阵X, 采用下面的方法得到标准化的Z矩阵。
计算熵权w（也可以用层次分析法得到权重w）
计算加权最大值的距离与最小值的距离
其中，Z_j+ 表示第j个指标中的最大值，Z_j- 表示第j个指标中的最小值。
- 计算各样本与最优方案的贴近程度并排序
C_i=\frac{D_i^- }{D_i^++D_i^-}
其中，C_i 的取值范围是【0,1】，并且越接近1表明样本评分越好。 然后，根据C_i 的值就可以排序了。