【信号与系统】卷积的引入和计算
【信号与系统】卷积的引入和计算
卷积是信号与系统课程中的核心概念之一，它在时域分析中扮演着重要角色。本文将从线性时不变系统的角度出发，通过大米购买的例子，逐步引入卷积的概念，并详细解释其计算方法和性质。
1、引言
在对线性时不变系统（LTI）作时域分析时，通常需要求解系统的响应。响应可以划分为零输入响应和零状态响应，其中利用经典法求解微分方程计算零状态响应较为繁琐，因此引入卷积积分法。
激励信号可以被分解为一系列冲激信号的总和，由于LTI的线性性质，激励信号x(t)--->y(t)的过程，可以看做是先把x(t)线性分解为一堆δ(t)，再将δ(t)输入系统得到h(t)，再将h(t)线性组合得到y(t)。
举个例子，就像是用10块钱买大米。先计算一块钱δ(t)能买多少克大米h(t)，再将这些单位大米加起来，得到总的大米数量y(t)。
研究激励信号经过系统之后得到什么响应（零状态响应）的问题，就转化为两个子问题：1）一块钱能买到多少大米，δ(t)---->h(t)？2）这些单位大米怎么加起来，h(t)---->y(t)？
在大米问题中，将10块钱的大米总数相加非常简单，因为每一块钱买到的大米数量是相同的，而且10块钱之于1块钱是一个线性的倍数问题。但是实际求解y(t)则需要用到一种特殊的算法：卷积。
上面两个问题用术语描述就是：求解冲激响应，卷积计算得到零状态响应。
2、冲激响应与阶跃响应
冲激响应：零状态时，单位冲击信号δ(t)经过系统后，产生的响应h(t)
求解冲激响应例题：求解一阶RC电路的冲激响应。
阶跃响应：单位阶跃信号u(t)经过系统后，产生的响应g(t)。
由于u(t)是δ(t)从-∞到t的积分，因此根据LTI的线性性质，系统满足微积分特性，因此g(t)也是h(t)从-∞到t的积分。
3、卷积的引入
上文的冲激响应计算解决了一块钱能买多少大米的问题，接下来我们做两个工作：1）将10块钱用某种方式分成多份1块钱，2）用同样的方式将每1块钱购买到的大米加起来，计算得出10块钱买到的大米数量。前者为分解激励信号，后者为卷积积分。
分解激励信号：激励信号可以被分解为一系列冲激信号的总和，即
上面公式的推导方法，是将激励函数看做一个个窄矩形脉冲的组合的逼近。矩形脉冲的宽度为△τ，高度为x(k△τ)，对一系列窄矩形脉冲从-∞到+∞求和，并对△τ取极限，求和变为积分，就得到上面的公式。
如果系统是一个因果系统，那么则是从0积分到无穷大。
卷积积分：由于系统的线性性，对δ(t)线性组合成x(t)后作用成y(t)等价于对δ(t)作用成h(t)后线性组合成y(t)。用H表示系统函数，则
最后有
记作
这种计算即为卷积积分（convolution)。
利用冲激响应与系统的线性性质，我们可以利用卷积积分计算10块钱可以购买多少大米的问题，也就是激励信号函数经过系统后，可以得到怎样的零状态响应的问题。总体思路就是：分----计算冲激响应----合。千言万语最后汇成一句话：
大米总量=10块钱卷积大米单价
4、卷积的计算
两种方法：解析法与图解法。
解析法：先确定积分的上下限（例如对于u(τ)u(t-τ)，可以得知0<τ<t，因此积分上下限为τ和0），再利用高数里学到的积分方法计算积分结果，最后在积分结果后面加上u(t)，表示t>0这一条件。
下面是一道例题。
图解法：计算g(t)=f1(t)*f2(t)时，在同一个坐标系中绘制f1(τ)和f2(t-τ)的图像，其中f2(t-τ)即为f2(-τ)右移t个单位后的图形。t从-∞取值到+∞，也就是固定f1(τ)，将f2(-τ)的图像在坐标系中从左往右移动，不同情况分类讨论，按照两个图形重合的部分确定积分限，最后可以得到卷积结果的分段函数。
用下面的例题来理解图解法。
积分时选取上下限的原则：看两个函数重叠的区间。
卷积结果区间：若f1的定义域是[a,b]，f2的定义域是[c,d]，则g的定义域是[a+c,b+d]。即下限相加，上限相加。
注：如果觉得图解法难以理解，可以阅读后文（under construction）的离散卷积和的列表法。列表法从LTI的齐次性、叠加性、时不变性的本质出发，更直观，也更贴近卷积这种算法的原貌。
5、卷积的性质
代数性质：
交换律：卷积结果与两函数的次序无关，因此可以选取简单函数为移动函数，如矩形脉冲或δ(t)。
分配律：在系统并联的情况下，可以先计算子系统的卷积，再将两者相加。
结合律：在系统级联（串联）时，总的冲激响应等于子系统冲激响应的卷积。
微分积分性质:
与冲激函数、阶跃函数的卷积：
to be continued.
2024.10.22