正弦定理的推导过程

正弦定理的推导过程

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/xl_1803/article/details/131237463

正弦定理是三角学中的一个基本定理，它描述了三角形的边长与对应角的正弦值之间的关系。具体来说，对于任意一个三角形，其三边$a$、$b$、$c$与对应角$A$、$B$、$C$的正弦值之比相等，且等于该三角形外接圆直径的两倍。用公式表示就是：

$$
\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R
$$

其中，$2R$是该三角形外接圆的直径。

推导过程

要推导正弦定理，我们可以从三角形的外接圆入手。如下图所示，假设有一个三角形$ABC$，其外接圆的圆心为$O$，直径为$2R$。

我们知道，直径所对的圆周角是直角。因此，如果从点$A$出发，过圆心$O$作直径$AE$，那么$\angle ABE$就是一个直角，即$\angle ABE = 90^\circ$。

由于$\angle C$和$\angle E$都是弧$AC$所对的圆周角，根据圆周角定理，它们相等，即$\angle C = \angle E$。

接下来，我们考虑直角三角形$ABE$。在这个三角形中，$\sin E$可以表示为对边$AE$与斜边$AB$的比值，即：

$$
\sin E = \frac{c}{2R}
$$

由于$\angle C = \angle E$，所以$\sin C = \sin E$，因此：

$$
\sin C = \frac{c}{2R}
$$

从而得到：

$$
\frac{c}{\sin C} = 2R
$$

同理，对于其他两边也可以得到类似的结果，即：

$$
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R
$$

这就完成了正弦定理的推导。