【文化课学习笔记】【物理】实验：验证机械能守恒定律
【文化课学习笔记】【物理】实验：验证机械能守恒定律
机械能守恒定律是物理学中的一个基本定律，它描述了在没有非保守力做功的情况下，一个系统的动能和势能之和保持不变。这个定律在物理学、工程学和许多其他领域都有广泛的应用。本文将详细介绍如何通过实验验证机械能守恒定律，包括自由落体实验、光电门测速、竖直双物块模型、斜面双物块模型和竖直圆模型等方法。
自由落体验证机械能守恒定律
实验目的
验证机械能守恒定律。
实验原理
求出做自由落体的物体的重力势能的减少量和动能的增加量。
在实验误差允许范围内，若二者相等，则说明机械能守恒，从而验证了机械能守恒定律。
实验器材
重物、打点计时器、交流电源、纸带、刻度尺、铁架台(带铁夹)。
注意：不需要秒表和天平。所有需要使用打点计时器的实验均不需要秒表。且由于此实验中，是根据(m \mathrm g h_{AB} = \dfrac 1 2 m({v_B}^2 - {v_A}^2))计算的，此时两遍都可以约去(m)，所以(m)测得的结果精确与否对实验无影响。
实验过程
【安装器材】
讲打点计时器固定在铁架台上，用导线将打点计时器与电源相连。
【打纸带】
用手竖直提起纸带，使重物停靠在打点计时器下方附近。先接通电源，再松开纸带，让重物自由下落，打点计时器就在纸带上打出一系列点，取下纸带，换上新纸带重打(3\sim 5)条。
注意：
- 需要用手竖直提起纸带，而不能用手在下方托住重物，是为了避免纸带在下落的过程中跟打点计时器之间有摩擦生热。
- 重物要停靠在打点计时器下方附近，目的是为了多打点。
- 打(3\sim 5)条纸带的目的是保证打点的纸带上点较为清晰。
【数据处理】
选择点迹清晰的纸带，验证机械能守恒定律。
数据处理
方案一
利用起点和第(n)点计算：
- 选择第(1、2)点间举例最接近(\pu{2 mm})的纸带(在(\pu{50 Hz})的前提下，根据(y = \dfrac 1 2 \mathrm g t^2)可知此时(y = \pu{2 mm}))。
- 测出从起点到第(n)个点的距离(h_n)。
- 计算第(n)个点的瞬时速度，即(v_n = \dfrac x {2T})。以上图第(n)个点为(F)点为例：此时(v_n = \dfrac{h_6 - h_4}{2T})。
若在误差范围内，(m \mathrm g h_n)与(\dfrac 1 2 m {v_n}^2)相等，则验证了机械能守恒定律。
方案二
任取两点(A、B)计算： - 测出(h_{AB})。
- 测出(v_A、v_B)。
若在误差范围内，(m \mathrm g h_{AB})与(\dfrac 1 2 m {v_B}^2 - \dfrac 1 2 m {v_A}^2)相等，则验证了机械能守恒定律。
方案三
原理：
根据机械能守恒定律的式子(m \mathrm g h = \dfrac 1 2 m v^2)可知(\dfrac{v^2}2 = \mathrm g h)。所以只需要画出(\dfrac {v^2} 2 - h)图象求解。
图象法：
- 测量从起点到剩余各点的下落高度(h)，并计算对应速度(v)。
- 以(\dfrac {v^2} 2)为纵轴，(h)为横轴，根据数据做出(\dfrac{v^2}2 - h)的图象。
若在误差范围内，图象是一条过原点且斜率为(\mathrm g)的直线，则验证了机械能守恒定律。
注意事项
- 安装打点计时器时，要使其两限位孔在同一竖直平面以减少摩擦。
- 重物的密度要大。目的：体积相同时，密度越大，重力越大，更能满足重力远大于空气阻力。
- 释放前提着纸带，而不是拖着重物。目的：减少纸带与打点计时器之间的摩擦。
- 重物靠近打点计时器。目的：多打点。
- 先接通电源，再松开纸带让重物下落。
- 计算速度不可用(v = \sqrt{2 \mathrm g h})或(v = \mathrm g t)。原因：这两个公式相当于已知机械能守恒求(t)，但此实验是为了验证机械能守恒。
- 实验仪器不需要秒表和天平。
误差分析
若(\Delta E_k < |\Delta E_p|)：说明存在空气阻力或摩擦力。
若(\Delta E_k > |\Delta E_p|)，有两种可能原因：
- 利用方案(1)验证时，先释放纸带，后接通电源。此时会导致纸带上起点初速度不为(0)，根据(\Delta E_k = \dfrac 1 2 m {v_n}^2 - \dfrac 1 2 m {v_0}^2)可知结果偏大。
- 交流电的频率变小了。根据(v = \dfrac{x}{2T})和(T = \dfrac 1 f)可知，(f)变大(v)变大，会导致(\Delta E_k)变大。
其它方法验证机械能守恒定律
光电门测速
遮光条通过光电门的时间很短，设遮光条的宽度为(d)，则门处的瞬时速度近似等于平均速度，即(v = \dfrac d t)。
注意：遮光条的宽度不能太长，遮光条通过光电门的速度不能太慢。若(d)太长，(v)太慢，会导致时间(t)变长，会使得近似不再准确。
竖直双物块模型
如图所示，(m_2 > m_1)，释放纸带后，物块(2)向下移动，物块(1)向上移动，且由于绳子不可伸长，所以两物块在竖直方向移动的距离相等，且两物块时刻保持共速。
那么整个系统机械能守恒，则一定有((m_2 - m_1) \mathrm g h = (m_1 + m_2)\dfrac{v^2}2)。
那么要使用该系统验证机械能守恒定律，需要利用天平测出两物块质量(m_1,m_2)，然后利用刻度尺测出起点到第(n)个点的距离(h)，用均速法计算出第(n)个点的瞬时速度，代入上述关系式即可验证机械能守恒。
注意：在双物块模型中，物块质量不能约去，所以不能不测量。
斜面双物块模型
如图所示，物块的质量是(M)小球质量是(m)，小球竖直向下运动，物块沿着斜面向上运动，二者运动过程中速度相等，且物块沿斜面向上运动的距离与小球向下运动的距离相等。
假设物块从(A)到(B)沿斜面向上运动的距离为(d)，则小球在运动过程中重力势能减少了(m\mathrm g d)，物块在运动过程中重力势能增加了(Mgd \sin \theta)。根据机械能守恒有(m\mathrm gd - M \mathrm g d \sin \theta = \dfrac 1 2 (m + M){v_B}^2)。
分别计算出左右两边的式子，若二者在误差范围内相等，则验证了机械能守恒定律。
注意：在这种模型下，同样需要将(M)和(m)准确测出。
竖直圆模型
如图所示，设小球从释放到下落的高度为(h)，那么对于小球有机械能守恒(m \mathrm g h = \dfrac 1 2 m {v_A}^2)，即(\mathrm g h = \dfrac 1 2 {v_A}^2)。
误差分析：此时由于(v_测 = \omega L)，其中(L)表示半径(R)加上部分纸带的长度，(v_实 = \omega R)，所以(L > R)，所以(v_测 > v_实)，所以计算得到的动能偏大。改进：由上述分析可知可利用(v_实 = \dfrac{v_测 R}{L})作为测得的实际速度。
例题
晓强利用如图甲所示的装置完成了机械能守恒定律的验证，将体积较小的球由一定高度处静止释放，经过一段时间，小球通过固定在下侧的光电门，光电门记录了小球挡光时间(\Delta t)；然后，多次改变光电门到释放点的距离(h)，将小球仍由原来的位置静止释放，重复操作多次，记录多组小球的挡光时间。
实验时，下列正确的是()
A. 应选择直径较大的铝球
B. 应选择直径较小的钢球
C. 小球的释放点距离光电门越近越好
D. 小球的释放点到光电门的距离适当远些如果小球的直径为(d)，则小球经过光电门时的速度是什么？如果重力加速度为(\mathrm g)，若小球下落过程中机械能守恒，则对应成立的关系式是什么？
如果利用得到的实验数据描绘图象，纵轴为(\dfrac 1 {{\Delta t}^2})，横轴为(h)，如图乙，图线的斜率为(k)，若小球的机械能守恒，则重力加速度(\mathrm g)的表达式是什么。
分析：
对于 1，要使得求得的近似值更加准确，应该要让直径(d)较小，且为了满足重力远大于空气阻力，应该让小球密度较大，所以选择直径较小的钢球；同时为了让误差更小，在考虑释放点到光电门的距离(h)时，就要让误差值占据(h)的距离越小，所以(h)要尽可能大，即小球的释放点到光电门的距离应该适当远些。所以((1))选 BD。
对于 2，根据光电门测速可知，若小球的直径为(d)，则小球经过光电门时的速度为(\dfrac d {\Delta t})；当机械能守恒时，有(m \mathrm g h = \dfrac 1 2 m v^2)，由于题目未告诉小球的质量，所以考虑两边同时约去(m)，根据上一问可知(\mathrm g h = \dfrac 1 2 \left(\dfrac d {\Delta t}\right)^2)。
对于 3，对于第 2 问的式子变形可知(\dfrac{2\mathrm g h}{d^2} = \dfrac 1 {{\Delta t}^2})，即(\dfrac 1 {{\Delta t}^2} = \dfrac{2 \mathrm g}{d^2}h)，所以图乙中图象斜率(k = \dfrac{2\mathrm g}{d^2})，那么(\mathrm g = \dfrac{kd^2}{2})。
注意：对于第二问第二小问，已知机械能守恒求关系式，若已知小球质量，则对应关系式需要包含(m)；若未知小球质量，则需要约去(m)。