微分立体角与辐射度量学

微分立体角与辐射度量学

微分立体角是立体角的一个微小变化量，在辐射度量学中扮演着重要角色。本文将从立体角的基本概念出发，逐步深入到球面度、单位立体角、微分立体角等核心概念，并通过Lambert材质的BRDF实例，展示这些概念在实际应用中的重要性。

1. 立体角

在二维空间中，我们熟悉的角度是由两条具有公共端点的射线组成的图形。例如，我们可以描述∠A等于90°，或者∠A的弧度等于π/2。这种角度之所以是二维的，是因为构成它的两条射线必然共面。

在三维空间中，同样存在一种类似的角度概念，这就是立体角（Solid Angle）。与二维角度不同，立体角是由一种扇形面围成的夹角，可以理解为由无数条射线围成的面。立体角的大小可以通过扇形面在半径为1的单位球面上截取的面积来描述。

2. 球面度

球面度（Steradian，简称sr）是立体角的计量单位，可以类比为三维空间中的弧度。一个单位圆的弧度是其周长，即2π；而一个单位球的球面度是其表面积，即4π。

当我们用扇形面围成的立体角在半径为r的球体上截取一块面积为A的球面时，该立体角的球面度计算公式为：

3. 单位立体角

单位立体角（Unit Solid Angle）是指单位球上面积为1的球面所对应的立体角，即1球面度的立体角。在辐射度量学中，单位立体角被用来度量光线的能量分布，这种度量方式被称为辐照强度（Radiant Intensity）。

4. 微分立体角

微分立体角（Differential Solid Angle）是立体角的一个微小变化量，可以理解为单位球面上趋向于0的面积所对应的立体角。在球坐标系中，一个点可以用半径r、极角θ和方位角ϕ来表示。

dθ在球面上纵向截出的弧长为：

同理，ϕ在球面上横向截出的弧长为：

因此，dθ和dϕ在球面上截出的面积dA为：

将dA投影到单位球上后的投影面积所对应的立体角就是微分立体角，其公式为：

5. Lambert材质的BRDF

Lambert材质是一种简化的光照模型，只受漫反射影响，当光线打到Lambert物体表面时，会被均匀散射，不会形成高光，没有镜面效果。Lambert材质的漫反射可以理解为物体表面反射的power和吸收的power的比值。

假设单位面积向任意方向反射的radiant intensity为Lr，我们可以根据Lr和微分立体角的关系积分出Eo：

单位面积反射出去的radiant intensity为单位面积贡献的反射能量会受到反射光线与单位面积所在平面法线夹角的影响。具体计算过程如下：

将微分立体角dω展开：

整理微积分公式：

根据三角函数的倍角公式，可以对上式中的cosθsinθ进行简化：

接下来，我们进行换元，令u=2θ，则du*=2*dθ，即dθ=(1/2)du。同时，当θ=0时，u=0；当θ=2π时，u=π。将上述换元代入原积分，得到：

最终的Eo公式为：

利用微积分第二基本定理计算Eo：

接下来，我们根据上面的定理，先计算Eo里的反导函数：

将反导函数代入Eo可得：

将Eo的值代入之前的diffuse公式可得：

由此我们可以得到Lr和diffuse的关系：

对于无法均匀散射光线的模型，我们通常会引入入射方向和反射方向的概念，并以微分的方式表示BRDF：

Radiance是power在单位立体角、单位面积中的能量，根据入射和出射方向分成Incident Radiance和Exiting Radiance两种：

总结

立体角在辐射度量学中可以起到度量衡的作用。微分立体角可以用于描述从光源发出的power在空间中的分布情况。Radiometry（辐射度量学）在物理上定义了光照的若干属性，并且描述了光的传播与衰减方式。Radiometry定义的光照属性有以下几种：

• Radiant energy：光源的所有能量，以焦耳为单位。
• Radiant flux(power)：Radiant energy在单位时间中的能量。
• Radiant intensity：power在单位立体角中的能量。
• Irradiance：power在单位面积中的能量。
• Radiance：power在立体角、单位面积中的能量。