角平分线的性质与判定

角平分线的性质与判定

本课件是针对北师大版八年级数学下册第一章《三角形的证明》中角平分线相关内容的教学资源。通过本课件的学习，学生可以掌握角平分线的定义、性质和判定方法，并通过例题练习加深理解。

1. 角平分线的定义

角平分线是将一个角分成两个相等的角的射线。在数学中，角平分线具有重要的性质和应用。

2. 角平分线的性质

性质1：角平分线上的点到角两边的距离相等

如图所示，如果点P在∠ABC的角平分线上，那么点P到AB和BC的距离相等。

性质2：角平分线将对边分成两段，这两段与角两边的比相等

如图所示，如果AD是∠BAC的角平分线，那么BD/DC = AB/AC。

3. 角平分线的判定

判定1：到角两边距离相等的点在角平分线上

如果点P到∠ABC的两边AB和BC的距离相等，那么点P在∠ABC的角平分线上。

判定2：分对边成比例的线段是角平分线

如果AD将BC分成BD和DC两段，且BD/DC = AB/AC，那么AD是∠BAC的角平分线。

4. 例题解析

例1：已知∠ABC的角平分线AD，AB = 6cm，AC = 8cm，BC = 10cm，求BD和DC的长度。

解：根据角平分线的性质2，有BD/DC = AB/AC = 6/8 = 3/4。设BD = 3x，DC = 4x，则3x + 4x = 10，解得x = 2。因此，BD = 6cm，DC = 8cm。

例2：已知点P到∠ABC的两边AB和BC的距离相等，求证：点P在∠ABC的角平分线上。

证明：根据角平分线的判定1，到角两边距离相等的点在角平分线上，因此点P在∠ABC的角平分线上。

5. 练习题

1. 已知∠ABC的角平分线AD，AB = 5cm，AC = 7cm，BC = 12cm，求BD和DC的长度。
2. 已知点P到∠ABC的两边AB和BC的距离相等，求证：点P在∠ABC的角平分线上。

6. 总结

通过本课件的学习，我们掌握了角平分线的定义、性质和判定方法，并通过例题练习加深了理解。角平分线是几何学中的重要概念，掌握其性质和应用对于解决几何问题具有重要意义。