2024年度数学进展回顾——译自量子杂志Quanta Magazine
2024年度数学进展回顾——译自量子杂志Quanta Magazine
2024年是数学领域取得突破性进展的一年。从几何到数论，数学家们在多个重要问题上取得了重大突破。同时，人工智能在数学研究中的应用也展现出巨大潜力，预示着数学学科未来发展的新方向。
几何朗兰兹猜想获证
2024年5月，由九名数学家组成的团队宣布取得重大突破。他们证明了所谓的几何朗兰兹猜想——这是建立数学“大统一理论”的更广泛研究计划的核心组成部分。这个证明总共有800多页，标志着30年工作的顶峰，用一位数学家的话说，这是一项“最高成就”。
图源：Nan Cao|Quanta
“这是美丽的数学，”另一位数学家评价道。“同类中最好的。”
同类中最好，不仅因为它是一项开创性的数学成果——解决了一个巨大的开放问题，现在有望影响未来数十年的研究——还因为它涉及建立深刻的、意想不到的联系。通常，当数学家找到方法将看似不相关的想法相互对话，打破不同研究领域之间的障碍时，就会产生最好的结果。几何朗兰兹猜想的证明就是这样的结果。
球堆积记录被打破
球体堆积问题是一个古老而基本的数学问题：如何排列相同的球体以填充尽可能多的体积而不重叠？在三维空间中，你可以将球体排列成金字塔形的一堆，就像杂货店里堆放橙子的方式一样。但在更高维度呢？
直到2016年乌克兰数学家Maryna Viazovska（玛丽娜·维亚佐夫斯卡，1984 -）证明特定的晶格对于在8维和24维空间中填充球体是最优的，之前没人知道任何高于3维的答案。在所有其他维度中，确切的答案仍然未知。
2024年4月，数学家们在该版本球堆积问题上取得了75年来的首次重大进展。他们提高了以前堆积的效率，同时利用了一种新颖的方法：数学家们没有像维亚佐夫斯卡那样以良好、有组织的方式堆积球体，而是使用图论以非常无序的方式堆积。
图源：Richard Borge|Quanta 视频： https://youtu.be/lwVSeXswWZY
数论中的重要进展
在数论领域，数学家们在解决一些最重要的开放问题上取得了渐进但重要的进展。例如，两位数学家证明了黎曼假设可能的例外数量的新估计，这可以说是数学中最大的开放问题。这项工作不仅打破了之前保持了80年的记录，而且带来了关于素数分布的新结果。
同样，三名研究生证明，在集合不可避免地包含均匀间隔分布的数字模式之前，可以更好地估计集合可以达到的最大大小。这项工作探讨了数学中的无序如何不可避免地产生秩序，标志着几十年来“Szemeredi塞梅雷迪问题”的首次进展。
与此同时，数学家Hector Pasten最近在理解数列2、5、10、17、26等（即n⊃2;+1形式的所有数字）的性质方面取得了进展。他的证明使数学家能够探索加法和乘法运算之间复杂的关系。它还使他能够证明abc猜想的某些情况的新估计，这是数学中另一个最重要的问题，也是最具争议的问题之一。
AI在数学中的应用
当诸如ChatGPT（一种“大语言模型”）之类的新人工智能系统首次引入时，它们的数学能力只是模因（meme）的东西，而且不是一种好的方式。聊天机器人无法正确做加法，更不用说解决更复杂的应用题了。至于产生成熟的证明——算了吧。当谈到数学时，人工智能似乎只会继续挣扎。
但今年，谷歌DeepMind的新模型将人工智能变成了国际数学奥林匹克竞赛的有力竞争者，这是世界上最重要的高中生数学竞赛。一月份，该公司发布了AlphaGeometry，这是一个能够证明几何问题的模型，几乎可以与人类金牌得主媲美。半年内，AlphaGeometry 2可以轻松获得金牌，并且当与谷歌的大语言模型Gemini集成时，可以很好地证明更普遍的问题，从而在完整的奥林匹克考试中获得银牌。DeepMind将这个最新模型称为AlphaProof。
AlphaProof是一项巨大的成就。它展示了人工智能快速增长的数学能力，并为该技术有一天如何在原创研究中充当数学“副驾驶”带来了希望。
结语
2024年是数学令人兴奋的一年，几何和数论方面的里程碑式成果标志着数学研究的重要进展。同时，AI人工智能的进步正开始改变数学学科的未来。这些突破不仅解决了长期存在的数学难题，还为未来的研究开辟了新的方向。随着人工智能在数学研究中的应用日益广泛，数学学科的未来充满了无限可能。
本文原文来自量子杂志（Quanta Magazine），由zzllrr小乐翻译并发布于澎湃号。