极限存在的条件
极限存在的条件
在讨论极限（也叫双侧极限）时，我们知道其存在的充分必要条件是左右极限都存在且相等，否则极限不存在。这里详细探讨一下在什么情况下函数会不存在极限。
1. 函数f ( x ) = 1 / x
观察反比例函数f ( x ) = 1 / x的图像：
当x是正的且接近于0时，f ( x )看起来好像非常大，特别是当x从右侧滑向0时，它并不接近于任何数，而是变得越来越大。我们说该极限是无穷大，并写作：
lim x → 0 + 1 x = ∞
类似地，这里的左极限是− ∞，因为当x向0上升时，f ( x )会变得越来越负，这就是说
lim x → 0 − 1 x = − ∞
由于左极限为− ∞和右极限为+ ∞不相等，故左极限和右极限都存在，但是双侧极限显然不存在。
2. 函数g ( x ) = 1 / x^2
观察反比例函数g ( x ) = 1 / x^2的图像：
此函数在x = 0处的左极限和右极限都是∞，因为左极限等于右极限，故左极限和右极限以及双侧极限都存在，因此这时也可以说极限（合称为极限）存在，即符号表示为
lim x → 0 1 x 2 = ∞
3. 函数g ( x ) = sin(1/x)
前面两个例子说明的是左右极限存在，但左极限不等于右极限时双侧极限不存在，那有没有可能会出现左极限或右极限不存在的情况，有的sin(1/x)就是这样的。
由于sin(x)在x = π，2π，3π，...上的值全为0，所以sin(1/x)会在x = 1/π，1/(2π)，1/(3π)，...上的值全为0。而1/π，1/(2π)，1/(3π)，...这些数就是sin(1/x)函数在x轴的值。
lim x → 0 + sin(1/x)是什么呢？以上图像在x = 0附近很杂乱，它无限地在1和-1之间振荡，震荡的原因是随着x值得变化sin(1/x)不断产生最小-1到最大1之间含有小数的值（不是说只产生 -1 或 1，而是两者之间的实数值），当你从右侧向x = 0处移动时，振荡会越来越快，这里没有极限。
当x从右侧趋于x = 0时，sin(1/x)函数不趋于任何数，因此可以说lim x → 0 + sin(1/x)不存在（即DNE）。