微积分-函数与极限6（函数的连续性）
微积分-函数与极限6（函数的连续性）
生活中有很多物理现象都是连续的，例如温度随时间的变化、汽车位移随时间的变化。其实数学中的连续性与之类似。这一节就来研究一下数学中的连续。
连续性定义
定义 1 如果 $\lim_{x \rightarrow a}f(x) = f(a)$，函数 $f$ 在 $x = a$ 处连续。
从上面的定义，可以看出函数 $f$ 要在 $a$ 处连续，需要满足三个条件：
- $f(a)$ 存在（即 $a$ 在函数 $f$ 的定义域内）
- $\lim_{x \rightarrow a}f(x)$ 存在
- $\lim_{x \rightarrow a}f(x) = f(a)$
从几何角度上来说，如果一个函数的图像在某个区间内没有间断，那么这个函数在该区间内就是连续的。
例一： 根据定义 1再结合函数的图像，说明函数在哪些点上不连续。
解：
- 函数在 $x = 1$ 处不连续，因为 $f(1)$ 不存在；
- 函数在 $x = 3$ 处不连续，因为 $\lim_{x \rightarrow 3}f(x)$ 不存在；
- 函数在 $x = 5$ 处不连续，因为 $\lim_{x \rightarrow 5}f(x) \neq f(5)$。
例二： 找出下列函数不连续的点。
(a) $f(x) = \frac{x^2 - x - 2}{x - 2}$
(b) $f(x)=\left{
\begin{aligned}
& \frac{1}{x^2} & x \neq 1\
& 1 & x = 1\
\end{aligned}
\right.$
(c) $f(x)=\left{
\begin{aligned}
& \frac{x^2 - x - 2}{x - 2} & x \neq 2\
& 1 & x = 2\
\end{aligned}
\right.$
(d) $f(x) = \lfloor x \rfloor$（向下取整）
解：
(a) 函数在 $x = 2$ 处不连续，因为不在定义域内；
(b) 函数在 $x = 1$ 处不连续，因为 $\lim_{x \rightarrow 1}f(x)$ 不存在；
(c) 函数在 $x = 2$ 处不连续，因为
$\lim_{x \rightarrow 2}f(x) = \lim_{x \rightarrow 2}\frac{(x - 2)(x + 1)}{x - 2} = \lim_{x \rightarrow 2}(x + 1) = 3 \neq f(2)$
(d) 函数在 $x$ 为整数的点不连续，因为这些点的极限不存在。（下面会证明）
如图所示，其中
(a)和(c)被称为可移除连续
(b)被称为无限不连续
(d)被称为跳跃不连续
定义 2 如果 $\lim_{x \rightarrow a^+}f(x) = f(a)$，那么函数 $f$ 在 $x = a$ 的右侧连续；如果 $\lim_{x \rightarrow a^-}f(x) = f(a)$，那么函数 $f$ 在 $x = a$ 的左侧连续。
例三： 证明对于任意整数 $n$，函数 $f(x) = \lfloor x \rfloor$ 在 $x = n$ 的右侧连续。
$\lim_{x \rightarrow n^+}f(x) = \lim_{x \rightarrow n^+}{\lfloor x \rfloor} = n = f(n)$
$\lim_{x \rightarrow n^-}f(x) = \lim_{x \rightarrow n^-}{\lfloor x \rfloor} = n - 1 \neq f(n)$
通过这个例子，我们可以看出 $f(x) = \lfloor x \rfloor$ 在 $x$ 为整数的点上没有极限，因此不连续。
定义 3 如果函数 $f$ 在区间内任意点上连续，那么 $f$ 在该区间连续。（如果 $f$ 仅在区间端点的一侧定义，则我们将端点处的连续理解为从右侧连续或从左侧连续。）
例四： 证明 $f(x) = 1 - \sqrt{1 - x^2}$ 在区间 $[-1, 1]$ 连续。
解：
如果 $-1 < a < 1$，那么根据前面的极限定律，有
$\lim_{x \rightarrow a}f(x) = \lim_{x \rightarrow a}(1 - \sqrt{1 - x^2}) = 1 - \lim_{x \rightarrow a} \sqrt{1 - x^2} = 1 - \sqrt{\lim_{x \rightarrow a}(1 - x^2)} = 1 - \sqrt{1 - a^2} = f(a)$
根据定义 1，$f$ 在 $a$ 处连续，其中 $-1 < a < 1$。另外
$\lim_{x \rightarrow -1^+}f(x) = 1 = f(-1)$
$\lim_{x \rightarrow 1^-}f(x) = 1 = f(1)$
根据定义 2，$f$ 在 $-1$ 右侧连续，在 $1$ 的左侧连续。因此，根据定义 3，$f$ 在 $[-1, 1]$ 上连续。
定理
定理 1 如果 $f$ 和 $g$ 在 $a$ 点连续，并且 $c$ 是一个常数，那么下面的函数同样在 $a$ 点连续：
- $f + g$
- $f - g$
- $cf$
- $fg$
- $\frac{f}{g}$
证明 $f + g$ 也在 $a$ 处连续。已知 $\lim_{x \rightarrow a}f(x) = f(a)$ 和 $\lim_{x \rightarrow a}g(x) = g(a)$。因此
$\lim_{x \rightarrow a}(f + g)(x) = \lim_{x \rightarrow a}[f(x) + g(x)] = \lim_{x \rightarrow a}f(x) + \lim_{x \rightarrow a}g(x) = f(a) + g(a) = (f + g)(a)$
所以 $f + g$ 在 $a$ 点连续。
定理 2
(a) 多项式在任意点连续；也就是说多项式在 $(-\infty, \infty)$ 连续；
(b) 分数式在定义域连续；
(c) 根函数在定义域连续；
(d) 三角函数在定义域连续；
证明(a)
多项式的格式为
$P(x) = c_nx^n + c_{n-1}x^{n-1} +...+ c_1x^1 + c_0$
其中 $c_0, c_1,...,c_n$ 为常数。根据极限定律我们知道
$\lim_{x \rightarrow a}c_0 = c_0$
$\lim_{x \rightarrow a}x^m = a^m$
由此可见，$f(x) = x^m$ 是一个连续的函数。根据定理1-3，我们知道 $g(x) = cx^m$ 也连续。因此，根据定理1-1可知 $P$ 连续。
例一： 计算 $\lim_{x \rightarrow \pi}\frac{\sin x}{1 + \cos x}$ 。
- 首先证明其连续；
- 然后根据定义 1求解。
定理 3 如果 $f$ 在 $x = b$ 处连续，并且 $\lim_{x \rightarrow a}g(x) = b$，那么 $\lim_{x \rightarrow a}f(g(x)) = f(b)$。也就是
$\lim_{x \rightarrow a}f(g(x)) = f(\lim_{x \rightarrow a}g(x))$
定理 4 如果 $g$ 在 $a$ 处连续，$f$ 在 $g(a)$ 处连续，那么复合函数 $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ 在 $a$ 处连续。
证明
已知
$\lim_{x \rightarrow a}g(x) = g(a)$
根据定理 3，有
$\lim_{x \rightarrow a}f(g(x)) = f(g(a))$
中值定理 5 假设 $f$ 在 $[a, b]$ 连续，令 $N$ 处于 $f(a)$ 和 $f(b)$ 中间，其中 $f(a) \neq f(b)$。那么存在 $c$ 属于 $(a, b)$，使得 $f(c) = N$。
如图所示
练习题
根据定理，说明函数为什么在其定义域内连续，并指出其定义域。
$B(x) = \frac{\tan x}{\sqrt{4 - x^2}}$根据连续性计算极限。
$\lim_{x \rightarrow \pi}\sin(x + \sin x)$证明 $f$ 在 $(-\infty, \infty)$ 上连续。
$f(x) = \left{
\begin{aligned}
& 1 - x^2 & x \leq 1 \
& \sqrt{x - 1} & x > 1
\end{aligned}
\right.$找出不连续的点，说明在这些点上是左侧连续还是右侧连续，并且画出图像。
$f(x) = \left{
\begin{aligned}
& x^2 & x < -1 \
& x & -1 \geq x < 1 \
& 1/x & x \geq 1
\end{aligned}
\right.$地心引力方程如下，请问 $F$ 在 $r = R$ 处连续吗？
$F(r) = \left{
\begin{aligned}
& \frac{GMr}{R^3} & r < R \
& \frac{GM}{r^2} & r \geq R
\end{aligned}
\right.$找出常量 $c$，使得 $f$ 在 $(-\infty, \infty)$ 连续。
$f(x) = \left{
\begin{aligned}
& cx^2 + 2x & x < 2 \
& x^3 - cx & x \geq 1
\end{aligned}
\right.$根据中值定理，证明下面的式子有解。
$\sin x = x^2 - x$证明当前仅当 $\lim_{h \rightarrow 0}f(a + h) = f(a)$ 时，$f$ 在 $a$ 处连续。
使用上面的结论证明 $\sin x$ 在任意 $a$ 处连续。
一个僧人一天早上7点从寺庙向山顶出发，晚上7点到达山顶。第二天早上7点从山顶向寺庙出发，走同样路线，晚上7点到达寺庙。请使用中值定理证明路径上有一个点，僧人两天在同一时刻穿过该点。