【数理化自学】直线和平面平行的性质定理

【数理化自学】直线和平面平行的性质定理

《数理化自学丛书》是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，这套丛书层次大致相当于如今的初高中水平，最大特点就是可用于“自学”。当然由于这套书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

直线和平面平行的性质定理

定理1

如果一条直线和一个平面平行，而经过这直线的一个平面和这个平面相交，那末这直线就和两平面的交线平行。

已知：直线a∥平面M；平面 N 过直线 a，且与平面 M 相交于 b（图1·32）。

求证：a∥b 。

证明：因为 a 和 b 在同一平面 N 内，所以只要证明它们不相交就证得了它们互相平行。我们用反证法来证明，如果 a 与 b 相交，那末 a 就要与 b 所在的平面 M 相交，这与已知条件矛盾。所以上述假定的“ a 和 b 相交”不可能，因此 a 和 b 平行。

注意：对于上述定理，为便于记忆起见，也可以和判定定理一样，用“线面平行，线线平行”来理解它。所谓线面平行，就是已知直线和平面平行，所谓线线平行，就是指过这直线的任一平面和已知平面的交线，和这已知直线平行。

定理2

如果一条直线和一个平面平行，那么过已知平面内任一点而和已知直线平行的直线只有一条，而且这直线必在已知平面内。

已知：a 平行于平面 M，点 P 在平面 M 内，PQ∥a 。

求证：PQ 在平面 M 内（图1·33）。

证明：过两平行直线 a 和 PQ 可决定平面 N 。那么，平面 M 和平面 N 必相交于过点 P 的一条直线 PQ₁、根据性质定理1可知 a∥PQ₁ 。既然已知 a∥PQ，故 PQ，PQ₁ 为在同一平面 N 内同过点 P 且平行于平面内的直线 a，所以 PQ 与 PQ₁ 重合。即得 PQ 也在平面 M 内（请读者自行证明其唯一性）。

由上述直线和平面平行的性质定理和判定定理可以知道，要判定一直线和一个平面平行，只要判定这直线是否和平面内任一直线平行即可；反过来，如果一直线平行于一个平面，那么过这直线的所有平面和已知平面的交线，都与这条直线平行。下面的一些结论，主要由上述两条定理推导得出，希望读者加以注意。

从上面的讨论可以看出：

1. 两条平行直线可以同时平行于一个平面，两条相交直线可以同时平行于一个平面，两条异面直线也可以同时平行于一个平面；
2. 两条平行直线中的任一条如果平行于一个平面，那么另一条直线或者也平行于这个平面，或者在这个平面内（图1·34(1)）；
3. 一直线如果与两个相交平面的交线平行，那么这直线同时和这两个平面平行（图1·34(2)）。

例题解析

例1：两个相交平面如果分别过两条平行直线中的每一条，试证它们的交线就与这两条直线平行。

已知：直线a∥直线b，平面 M 和 N 分别过直线 a 和 b，M 和 N 相交于直线 c（图1·35）。

求证：c∥a，c∥b 。

证明：

1. 直线 a 与平面 N 内的直线 b 平行，所以 a 与平面 N 平行。
2. 因为 a∥平面N，而直线 c 是过直线 a 的平面 M 与平面 N 的交线，所以 c∥a 。同理可证 c∥lb 。

例2：如果两条直线各与第三条直线平行，这两条直线互相平行（图1·36）。

已知：a∥c，b∥c 。

求证：a∥b 。

证明：

1. 如果直线 a、b、c 在同一平面内，这在平面几何中早已证明了这结论，在此不再重复。
2. 设直线 a、b、c 不在同一平面内。在直线 b 上任取一点 A，过直线 a 与点 A 可确定平面 S，两平行直线 b 与 c 所确定的平面为 P 。平面 S 和 P 有公共点 A，它们必相交于过 A 的一直线，设此直线为 AB 。
3. 已知 c∥a，所以 c 必平行于平面 S，c 也平行于 S、P 两平面的交线 AB 。但是直线 AB、b、c 在同一平面 P 内，因为过同一点 A 的两条直线 AB 与 b 同时平行于 c，所以 AB 重合于 b 。
4. 因为 a∥c，则直线 a 平行于平面 P，所以直线 a 平行于 AB，即 a∥b 。

因为有由 a∥c，b∥c 可得出 a∥b 这一性质，故称这一定理为平行直线的传递性，也称为三线平行定理。

由这一定理可知：平面儿何里的“如果两条直线分别与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行”的性质，可以推广到空间。

读者可以做这样一个实验，在一张纸上画三条平行直线 a、b 和 c，以中间的一条 b 为折痕把纸折过来（图1·37），观察在空间中 a 是否和 c 平行？

例3：在空间四边形中，连结不相邻两边中点的两直线必相交，并且互相平分（图1·38）。

已知：ABCD 为空间四边形，E、F、G、H 分别为 AB、BC、CD、AD 各边的中点。

求证：EG、FH 必相交并且互相平分。

证明：在 △ABD 所在的平面内，E、H 分别为 △ABD 的两边 AB、AD 的中点，根据平面几何中关于三角形两边中点连线的性质有 EH∥BD，且 EH＝BD/2 。同理可证明，在 △BDC 中，FG∥BD，FG＝BD/2 。因此 EH∥FG，可知 E、F、G、H 在一个平面内，且四边形 EFGH 为平行四边形。但是 EG、FH 为 ▱FGHE 的对角线，所以 EG、FH 必定相交，并且互相平分。

例4：空间的两个角，如果它们的对应边互相平行，并且方向相同，那么这两个角相等。

已知：∠BAC 和 ∠B₁A₁C₁ 是不在同一个平面内的两个角，它们的对应边互相平行，并且方向相同（图1·39）。

求证：∠BAC＝∠B₁A₁C₁ 。

证明：

1. 在 AB 和 A₁B₁ 上分别取相等的线段 AD 和 A₁D₁，在 AC 和 A₁C₁ 上分别取相等的线段 AE 和 A₁E₁，连结 AA₁、DD₁、EE₁、DE 和 D₁E₁ 。
2. 因为 AD∥A₁D₁，所以 ADD₁A₁ 是平行四边形，即 AA₁∥DD₁ 。同理知 AA₁∥EE₁ 。根据线段相等的传递性和三线平行定理有 DD₁∥EE₁，所以 DEE₁D₁ 是平行四边形。由此有 DE＝D₁E₁ 。因此 △AED≌△A₁E₁D₁，所以 ∠BAC＝∠B₁A₁C₁ 。

在平面几何里，我们知道：“当两个角的两双边对应平行并且方向相同或相反，那么这两个角相等；如果有一条边方向相同，而另一条边方向相反，那么这两个角互为补角”，这个性质对空间的两个角来讲也是成立的。希望读者自行证明。

习题

1. 如果平面外的两条平行线中有一条和平面内的某一直线平行，试证另一条直线和这个平面平行。
2. 如果两条平行线中的一条与一个已知平面相交，试证另一条直线也一定和这个平面相交。[提示：可参考上题，用反证法来证明 ]
3. 已知直线 AB 平行于平面 M，经过直线 AB 作一系列平面和平面 M 相交，求证交线 a，b，c，… 是一组平行线。
4. 如果一条直线和一个平面平行，求证：夹在这条直线和这个平面间的平行线段都相等。
5. 如果一条直线和两个相交的平面平行，则和它们的交线平行。[提示：过已知直线作两个平面分别与这两个相交平面相交 ]
6. 过已知点 P 求作一个平面，使它分别与不过这点的两条已知异面直线 a 和 b 平行。
7. 已知 AB 是平面 M 外一直线，P 是平面 M 外一定点，设 AB 不和平面 M 平行。过点 P 作一条直线，使它平行于平面 M，并且和 AB 相交。[提示：过点 P 和直线 AB，确定平面 N，则平面 N 和平面 M 一定相交；在平面 N 内，过点 P 作直线平行于平面 M 和 N 的交线，此即所求的直线 ]
8. 已知两条异面直线 a 和 b，以及 a 和 b 外的一个点 c 。过点 c 和直线 a、b 分别作两个平面 M 和 N，M 和 N 相交于 PQ？，那末直线 PQ 和 a、b 的位置关系怎样？

解：
因为 PQ 是平面 M 和 N 的交线，所以 PQ 在平面 M 内 。
又 a 在平面 M 内，所以 PQ 和 a 在同一个平面 M 内。
则 PQ 和 a 的位置关系可能有两种情形：(1)相交；(2)平行。
同理，PQ 和 b 的位置关系也可能有两种情形：(1)相交；(2)平行。
因此，可能产生下列几种情形：

1. PQ 和 a，b 都相交；

2. PQ 和 a 平行，和 b 相交；

3. PQ 和 a 相交，和 b 平行；

4. PQ 和 a、b 都平行。
   而(4)是不可能的。因为 PQ∥a、PQ∥b，则 a∥b，这与已知 a，b 是异面直线的条件产生矛盾。
   综上所述，可见直线 PQ 和 a、b 的位置关系是：或者 PQ 和 a、b 都相交；或者 PQ 和 a、b 中一条平行，和另一条相交。

5. 已知直线 BC 平行于平面 M，B、C、D 是直线 BC 上三个点。从平面 M 外一个定点 A 作直线 AB、AD、AC，分别交平面 M 于 E、F、G 三点。已知 BC＝a，AD＝b，DF＝c，求 EG 的长。[提示：显然 A、B、E、C、G 在一个平面内，在这平面内两次运用相似三角形的比例关系，即可求得结果；本题须分三种情况分别讨论，即 A 和 BC 在平面 M 的异侧，同侧且 A 在 M 和 BC 之间、同侧且 BC 在 M 和 A 之间 ]