【线性代数的本质】行列式、逆矩阵、秩

【线性代数的本质】行列式、逆矩阵、秩

线性代数是数学中的一个重要分支，广泛应用于物理学、工程学、计算机科学等领域。然而，许多人在学习线性代数时往往只注重数值计算，而忽视了其几何直观。本文将从几何的角度重新审视线性代数中的几个核心概念：行列式、逆矩阵和秩，帮助读者建立更深刻的理解。

行列式

行列式表示线性变换的缩放比率。通过检验行列式是否为0，能够了解这个矩阵所代表的变换是否将空间压缩到更小的维度。从上一节“矩阵和线性变换”，行列式为0，那么矩阵的列是线性相关的。

逆矩阵

线性方程组

A逆的核心性质在于 A逆乘以A等于一个 “什么都不做” 的矩阵

秩

当变换的结果为一条直线时，结果是一维的，称变换的秩为1

当变换的向量落在某个二维平面上，称变换的秩为2

秩代表着变换后空间的维数

比如说对于2×2的矩阵，它的秩最大为2，意味着基向量依然能张成整个二维空间。

如果一个三维变换的行列式不为零，变换结果仍旧充满整个三维空间，那么它的秩为3

矩阵的列空间：所有可能的变换结果的集合

矩阵的列表示基向量变换后的位置，这些变换后的基向量张成的空间就是所有可能的变换结果。换句话说，列空间就是矩阵的列所张成的空间。所以更精确的秩的定义是列空间的维数。

当秩达到最大值时，意味着秩与列数相等，称之为“满秩”

零空间

对方程组来说，当向量v恰好为零向量时，零空间给出的就是这个向量方程所有可能的解。

本文原文来自zhongshield.com