线性规划基本可行解求法
线性规划基本可行解求法
线性规划是一种数学方法，用于在给定线性约束条件下，求解线性目标函数的最大值或最小值。本文详细介绍了线性规划的基本概念、基本可行解的定义和性质，以及求解基本可行解的各种方法，包括单纯形法、两阶段法、大M法和小M法。文章内容详尽，结构清晰，涵盖了线性规划的理论基础和实际应用，具有较高的学术价值和实用价值。
线性规划概述
线性规划是一种数学方法，用于在给定线性约束条件下，求解线性目标函数的最大值或最小值。
定义：线性规划问题的目标函数和约束条件都是线性的，这使得问题可以通过数学方法进行有效求解。
特点：线性规划是运筹学的一个重要分支，起源于20世纪30年代。随着计算机技术的发展，线性规划在理论和应用方面都取得了显著的进展。
发展历史：线性规划广泛应用于军事、经济、经营管理、工程技术等领域。例如，在资源分配、生产计划、货物运输等问题中，都可以通过建立线性规划模型来寻求最优解决方案。
应用领域：线性规划发展历史及应用领域根据约束条件和目标函数的不同，线性规划问题可以分为不同类型，如资源分配问题、运输问题、最大流问题等。
问题分类：线性规划问题的求解方法主要包括单纯形法、内点法、椭球法等。其中，单纯形法是最常用的一种方法，它通过迭代过程逐步逼近最优解。内点法则适用于大规模线性规划问题的求解，具有较快的收敛速度。椭球法是一种基于几何形状的求解方法，适用于某些特定类型的线性规划问题。
基本可行解概念及性质
满足所有约束条件的解称为可行解，而基本可行解是可行解中的一个特殊子集，它对应着基变量的非负取值。通常使用基变量和非基变量的线性组合来表示基本可行解，其中基变量的系数矩阵为单位矩阵。
基本可行解定义与表示方法：表示方法定义定理内容对于标准形式的线性规划问题，至少存在一个基本可行解。
定理证明：通过构造法或反证法可以证明该定理，构造法通常是通过引入松弛变量将不等式约束转化为等式约束，从而构造出一个基本可行解。
基本可行解存在性定理：基本可行解对应着可行域的一个顶点。在线性规划问题中，可行域是一个凸多边形，而基本可行解对应着这个凸多边形的顶点。
性质一：基本可行解中基变量的取值唯一确定。由于基变量的系数矩阵为单位矩阵，因此基变量的取值可以直接通过等式约束计算得到。
性质二：基本可行解中非基变量的取值可以为零。非基变量在基本可行解中取值为零时，对应的约束条件处于松弛状态，不会对目标函数产生影响。
性质三：基本可行解不一定是最优解。虽然基本可行解是可行解的一个特殊子集，但它并不一定是最优解。需要通过迭代算法不断寻找更优的基本可行解，直到找到最优解为止。
单纯形法求解基本可行解
原理单纯形法是一种迭代算法，基于线性规划问题的可行解只能在可行域的顶点上取到的原理，通过不断转换基可行解来逼近最优解。
步骤：首先将线性规划问题转化为标准形式，然后构造一个初始基可行解，接着进行最优性检验，若当前解不是最优解，则通过迭代过程转换到另一个基可行解，并使目标函数值更优，重复此过程直到找到最优解。
单纯形法原理及步骤介绍：
第一阶段：通过引入人工变量构造一个辅助问题，求解该辅助问题得到一个基可行解，其中人工变量的取值反映了原问题中约束条件的松紧程度；
第二阶段：在原问题中去掉人工变量，并以第一阶段的基可行解为起点进行迭代求解。在目标函数中引入一个足够大的正数M，将原问题转化为一个等价的线性规划问题，然后求解该等价问题得到一个基可行解。大M法的优点是可以直接处理原问题，不需要引入人工变量，但缺点是M的取值可能影响数值稳定性。通过求解两个线性规划问题来获取初始基可行解。第一个问题是在不考虑原目标函数的情况下，最小化所有约束条件的违反程度；第二个问题是在满足第一个问题的最优解的基础上，最大化原目标函数。双线性规划法可以处理一些特殊情况，如约束条件中存在非线性项或不确定参数等。
两阶段法：大M法双线性规划法初始基可行解获取方法迭代过程及最优性检验在得到初始基可行解后，通过不断转换基变量和非基变量的角色来进行迭代求解。具体地，每次迭代选择一个进基变量和一个出基变量，将进基变量加入到基变量中，同时将出基变量从基变量中移除，得到一个新的基可行解。进基变量的选择要使目标函数值更优，而出基变量的选择要保证新的基可行解仍然满足所有约束条件。
迭代过程：在每次迭代后，需要进行最优性检验来判断当前解是否是最优解。常用的最优性检验方法包括单纯形乘子法、对偶单纯形法等。这些方法通过比较当前解的目标函数值与对偶问题的解来判断是否达到最优。若当前解的目标函数值小于等于对偶问题的解，则当前解为最优解；否则，继续迭代求解。
两阶段法求解基本可行解
两阶段法是将原问题分解为两个阶段进行求解的方法。第一阶段通过构造一个辅助问题，找到一个初始基可行解。第二阶段在第一阶段的基础上，对原问题进行求解，得到最优解。
两阶段法原理及步骤介绍：
检查解的情况：检查得到的解是否满足原问题的约束条件，如果满足则进入第二阶段，否则需要调整辅助问题重新求解。
构造辅助问题：将原问题的约束条件进行改造，构造出一个新的线性规划问题，其目标函数通常设为最小化人工变量之和。
求解辅助问题：使用单纯形法等方法求解辅助问题，得到一个初始基可行解。
第一阶段问题构造与求解：
根据对偶理论，构造出原问题的对偶问题，其目标函数与原问题相同，但约束条件变为对偶变量的非负约束。
构造原问题的对偶问题将对偶问题的初始解设为第一阶段得到的解。
将第一阶段得到的解作为初始解使用单纯形法等方法求解对偶问题，得到最优解。
还原原问题的解第二阶段问题构造与求解
大M法和小M法求解基本可行解
大M法通过在原问题中加入人工变量，并构造一个包含极大值M（通常取一个很大的正数）的目标函数，将原问题转化为一个新的线性规划问题。当求解新的线性规划问题时，人工变量将逐渐出基，最终得到原问题的基本可行解。
步骤：
将原问题转化为标准形式；
加入人工变量，构造新的目标函数；
求解新的线性规划问题；
检查解是否满足原问题的约束条件，若满足则得到基本可行解，否则需要调整M的值或重新构造目标函数。
大M法原理及步骤介绍：
VS小M法：与大M法类似，也是通过加入人工变量来构造新的线性规划问题。不同之处在于，小M法构造的目标函数中包含的是极小值m（通常取一个很小的正数），并且需要对原问题的约束条件进行相应调整。
步骤：
将原问题转化为标准形式；
加入人工变量，并调整约束条件；
构造包含极小值m的目标函数；
求解新的线性规划问题；
检查解是否满足原问题的约束条件，若满足则得到基本可行解，否则需要调整m的值或重新构造目标函数。
原理：小M法原理及步骤介绍大M法和小M法在原理上相似，都是通过加入人工变量来构造新的线性规划问题以求解基本可行解。不同之处在于目标函数中包含的分别是极大值M和极小值m，以及对应的约束条件调整方式。在实际应用中，可以根据问题的具体情况和求解器的特点来选择使用大M法或小M法。一般来说，当原问题中约束条件较多或较复杂时，可以考虑使用大M法；而当原问题中变量较多或需要更精确的解时，可以考虑使用小M法。同时，也可以尝试同时使用两种方法进行比较，以选择更优的解。比较选择两种方法比较与选择
实际应用案例分析
通过线性规划优化生产资源的配置，实现生产成本最小化或利润最大化。
生产计划制定：库存管理人力资源配置利用线性规划模型确定最优库存量，减少资金占用和库存成本。通过线性规划合理安排人力资源，提高劳动生产率和降低人工成本。
交通运输中线性规划问题应用：通过线性规划模型选择最优运输路径，减少运输时间和成本。运输路径优化通过线性规划合理安排航班时刻和航线，提高航班客座率和运营效率。航班计划制定利用线性规划模型确定物流中心的最优位置，降低物流成本和提高服务水平。物流中心选址
生产经营中线性规划问题应用：通过线性规划合理分配水资源，满