随机过程基础：4.Brown(布朗)运动
随机过程基础：4.Brown(布朗)运动
布朗运动是随机过程中的一个重要概念，广泛应用于物理学、金融学、生物学等多个领域。本文详细介绍了布朗运动的基础知识，包括其定义、数学解释、随机游动逼近以及多个重要性质。
一、定义
布朗运动，也称为维纳过程，是由英国植物学家罗伯特·布朗在1827年发现的。他观察到悬浮在液体中的小颗粒粒子进行非常不规则的运动。这种运动是因为颗粒受到液体中分子的不断碰撞。这种运动后来被称为布朗运动。布朗运动的数学解释由爱因斯坦在1905年提出，并在1918年由维纳精确地数学公式化。
数学定义：设X(t) 表示一个粒子在布朗运动中的 x 方向分量， x0 为粒子在时刻 t0 的位置，即 X(t0 )=x0 。设 p(x;t∣x0 ) 表示在给定X(t0 )=x0 的条件下 X(t+t0 ) 的条件概率密度。我们假设所给的转移概率是平稳的，从而 p(x;t∣x0 ) 不依赖于起始时刻t0 。
扩散方程：爱因斯坦证明了p(x;t∣x0 ) 必然满足偏微分方程：
- p：表示在某个位置和某个时间，颗粒出现的概率密度。
- t：表示时间。
- x：表示位置。
- D：是扩散系数，它表示颗粒扩散的速度。
- 这个方程的意思是：某个位置的颗粒浓度（概率密度）随时间的变化，取决于颗粒在该位置周围的分布情况。具体来说，位置变化的二阶导数（表示位置上的变化率）乘以一个扩散系数D，决定了颗粒浓度随时间的变化率。
选择适当的单位，我们可以取
，于是我们可以直接验证
是上述扩散方程的解。
随机游动逼近：考虑对称随机游动，每次移动Δx，其中Xn 表示粒子在第n时刻运动的方向， Sn =(X1 +⋯+Xn )Δx 表示在时刻n 粒子的位置。通过适当的极限过程，可以让单位转移时间趋于0，同时让步长适当收缩到0，从而由随机游动逼近布朗运动。
就像你手里有一枚硬币。每次你抛硬币，如果是正面，你就向前走一小步；如果是反面，你就向后走一小步。
- 每次移动Δx：这就像是你每次抛硬币后，决定走的那一小步的距离。
- Xn表示粒子在第n时刻运动的方向：这就像是每次抛硬币的结果，决定了你是向前还是向后。
- Sn=(X1+⋯+Xn)Δx：这就像是你在玩了n次抛硬币游戏后，你总共走了多少步。如果正面多，你就向前走了多步；如果反面多，你就向后走了多步。
- 单位转移时间趋于0：这就像是每次抛硬币的时间间隔变得非常非常短。
- 步长适当收缩到0：这就像是每次走的步子变得非常非常小。这样，你的运动就会变得非常复杂，就像是在做布朗运动。
随机过程{X(t); t>0} 称为布朗运动，如果它满足如下三个条件：
- X(0) = 0
- 随机过程 X 有平稳独立增量
- 对每个 t > 0，X(t) 服从均值为0，方差为t 的正态分布
二、性质
1.连续性：布朗运动的几乎每条样本轨道是连续的，但几乎点点都没有导数。
2.Markov性质：布朗运动是一个齐次马尔科夫过程，即在给定现在状态 X(s) 的条件下，过去 X(v);0≤v<s 与将来 X(t+s);t>0 独立。也就是上一篇介绍的马尔科夫的性质：你到达一个岔路口（这就是“现在状态 X(s)”），你要向左走还是向右走。这个决定只基于你当前的位置，而不依赖于你之前是如何到达这个岔路口的（这就是“过去 X(v); 0 ≤ v < s”），也不关心你将来会到达哪里（这就是“将来 X(t+s); t > 0”）。
3.联合分布：布朗运动的联合分布密度函数满足：
：这是粒子在时间t1时在位置x1的几率。
：这是粒子在时间t2时，相对于时间t1的位置变化的几率。即：在t1时粒子在x1，经过(t2 - t1)的时间后，粒子移动到x2。
：这是粒子在时间tn时，相对于时间
的位置变化的几率。即：在
时粒子在
，经过
的时间后，粒子移动到
。
而 粒子在不同时间点的移动是一个接一个的独立事件，每个事件只取决于前一个位置和时间差。联合分布函数就是把这些独立事件的概率乘起来，得到粒子在一系列时间点上同时出现在一系列位置上的总几率。
4.Gauss过程：布朗运动是一个Gauss过程，Gauss过程是一种随机过程，其中任意有限个时间点的随机变量的联合分布是正态分布。对于布朗运动，它是一个Gauss过程，这意味着在任何时间点上，粒子的位置是一个正态分布的随机变量。其均值函数和协方差函数分别为：
即在任何时间点 t，粒子的位置的期望值是0。在两个不同时间点 s 和 t 上，粒子位置的协方差是这两个时间点中较小的那个。
5.Brown桥：定义
则 B 称为Brown桥过程。Brown桥过程也是Gauss过程，其均值函数和协方差函数分别为：
想象你在公园里散步，你的小狗在你前面自由地跑来跑去。我们设定一个规则：小狗必须在散步的开始和结束时回到你的身边。小狗的运动可以看作是一个布朗桥过程。
- 开始时：小狗在你的身边，位置为0。
- 结束时：小狗再次回到你的身边，位置为0。
- W(t)：小狗在时间 t 时的位置。
- tW(1)：想象小狗在时间 1 时的位置的 t 倍。这相当于小狗在时间 1 时的位置被拉伸或压缩到时间t 的比例。
- 开始时（ t = 0 ）：
- W(0) = 0（因为布朗运动在时间0时的位置是0）。
- 0W(1) = 0（任何数乘以0都是0）。
- 所以，B(0) = W(0) - 0W(1) = 0 - 0 = 0。
- 结束时（ t = 1 ）：
- W(1) 是布朗运动在时间1时的位置。
- 1W(1) = W(1)（任何数乘以1都是它本身）。
- 所以，B(1) = W(1) - 1W(1) = W(1) - W(1) = 0。
- B(t)：所以，小狗在时间 t 时的位置减去这个拉伸或压缩后的位置，确保了小狗在开始和结束时都在你的身边，即位置为0。
6.首达时：首达时Ta 是Brown运动首次到达a的时刻。其分布为：
7.最大值：Brown运动在 [0, t] 上的最大值
的分布为：
这两个表达式都是通过变量变换和积分推导出来的，涉及到标准正态分布的积分。首达时关注的是粒子首次到达某个位置的时间，而最大值关注的是粒子在某个时间区间内达到的最大位置。这些表达式在随机过程和概率论中非常重要，用于描述和预测粒子在随机运动中的行为。