从“碎片拼图”到“整体建构”：大观念统摄下“图形与几何”总复习教学路径探寻
从“碎片拼图”到“整体建构”：大观念统摄下“图形与几何”总复习教学路径探寻
六年级毕业总复习是小学生数学学习的重要阶段。如何破解领域总复习的“碎片化”问题？本文以“图形与几何”领域总复习为例，探讨了在大观念统摄下，如何通过整体建构实现更有效的复习教学。
六年级下册“图形与几何”总复习是对小学阶段“图形与几何”知识的系统整理与复习，使学生进一步沟通几何图形知识之间的关系，形成良好的认知结构，发展空间观念。人教版教材中，本单元的内容编排如图1。
由图可知，教材分图形的认识和测量、图形的运动、图形与位置三个板块展开复习。设计的教学路径是：先研究一维图形的特征及度量，再研究二维图形、三维图形；对比平移、旋转、轴对称等几何变化间的联系，最后讨论图形的位置变化。这样的编排从知识结构的角度看是完整的，层次也非常清晰。但如果从领域统整的角度看，整体认知似乎比较欠缺，突出体现在以下几个方面。
（一）关于图形的特征
从本质上看，“线的长度和位置关系”决定了图形的特征，但教材上从平面图形、立体图形的角度分课时整理复习，使得图形特征变得相对孤立，弱化了相互之间的内在联系和认知方式上的共性，不利于学生从整体上沟通图形特征及其关系。
（二）关于图形的度量
按照教材的编排，平面图形周长、面积的计算公式的推导和立体图形表面积、体积计算公式的推导也是分课时复习的，学生较难对所有公式之间的联系展开深入讨论；另外，教材没有专门安排计量单位的复习，无论对于知识的梳理还是度量思想的感悟可能都是有缺失的。
（三）关于图形的运动与位置关系
图形运动前后必然会涉及到位置的变化与描述，而教材上将这两块内容分两个课时展开教学，其实弱化了图形运动和位置的联系，学生可能不太容易将两者形成关联。
复习课的目标在于融会贯通、知多记少、温故知新。对此，我们在前测中也看到了学生有这方面的需求（见图2）。
教学中该如何将这些“碎片化”的内容整理成更合理的结构，并进一步在复习中减少记忆负担的同时，驱动学生有目标地进行复习，完善其认知结构，让其有新的收获和体验生成，实现从“碎片拼图”式复习到“整体建构”式复习？我们将试图以大观念统摄重组知识内容，设计教学路径，旨在促使学生养成“主动关联、自主建构”的结构化思维意识与方式，体验知识的整体性与原理的一致性。
二、路径：如何抓住大观念凸显教学整体性
大观念也被译为核心观念、大概念，查尔斯将数学大观念定义为数学学习的核心，能把各种数学理解联系成一个连贯的整体。《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“2022年版课标”）也引导教师主动变革教学实践，关注教学的关联性、整体性。因此，我们将尝试以大观念统摄领域的总复习。那么，“图形与几何”领域的大观念是什么？对此，北京教育科学研究院张丹教授提炼了五条大观念（见图3），并将其分为内容大观念、过程大观念和价值大观念。
2022年版课标的“图形与几何”领域包括两个主题：图形的认识和测量、图形的运动和位置。目的是促使学生从多种角度全面认识和理解图形，并发展学生的空间观念和推理能力。
关于图形的特征：图形的认识主要是对图形的抽象。平面图形和立体图形都是从现实空间中抽象而来的，“点、线、面、体”是构成三维空间的四个要素。教材编排是沿着“立体→平面→立体”的主线展开，对图形进行分类、分析和表示的研究。那么这四个要素中哪一个是最重要的？本质上而言，“边的长度和位置关系”决定了图形的形状和大小特征，因而在图形特征的复习中，我们要以“边”这个核心要素为抓手展开教学。
关于图形的度量（见图4）：度量是用数值对客观对象不同属性的精确刻画，图形度量的本质是空间观念的大小维度的表征。在小学阶段，从一维长度、二维面积到三维体积的度量，学生经历了相似的学习过程，即学习“单位统一 →计算公式推导过程→应用”。因此在复习时要以“度量”为主线，即度量的思维方式和度量单位，让学生体验同一类知识和原理的整体性。
为此，怎样对“图形与几何”领域的内容进行重组，体现大观念？我们的思路是：结合教材和领域分析，本单元从图形的特征、图形的度量、计量单位、运动与位置四个维度设计四堂关键课，四堂课都是围绕领域大观念，并从学生自主复习过程中所提出的疑难困惑切入，有针对性地展开教学活动。
（一）“图形的特征”复习
着重讨论图形的特征由什么决定，指向大观念1。从学生前期思维导图的情况反馈看，虽然学生对特征的认识更多停留在直观层面的结论，但是学生都能从边和角两个维度梳理出每个图形的特征，这是本节课很好的切入点。我们将抓住“边”和“角”两个角度，规整零散的知识点，实现概念统整，通过思辨让学生感悟“角”是边的一种位置关系，所有图形的空间特征都是由边（包括边的长度和位置关系）来刻画，从而发展学生空间观念。
（二）“图形的度量”复习
聚焦于计算公式的整理复习，教材上是通过“这些公式是怎么推导出来的”这个问题，试图寻找公式间的关系；而我们则将三个维度的公式打通为一节课，指向大观念“度量的本质是计数”，即数度量单位的个数。课中基于学生前期的自主整理，设计“去掉一些公式，少记一些”的大任务，驱动学生自主回顾和关联公式的联系，让学生经历从“记具体公式——记三个维度——记度量本质”的过程，深入感悟度量的本质。
（三）“计量单位”的复习是新增的内容
将聚焦小学阶段认识的七类计量单位复习，一方面进一步明确各类计量单位所度量的事物属性，感受单位的适用性；另一方面打通计量单位之间的联系，再次深入感悟度量的本质。并将数学中的度量方法延伸到更广的领域，感悟度量的思维方式：制定标准——用工具度量——数出标准的个数。
（四）“图形运动与位置”复习
我们把图形的放大和缩小放在比和比例板块，这里重点研究平移、旋转、轴对称三种刚体运动，从而凸显刚体运动“不改变图形的形状和大小”的共同特征，进而关注运动后图形的位置变化情况，打通图形运动和位置刻画两者之间关联。而且，毕业复习阶段学生已经认识了负数，对于位置的描述可以从第一象限拓展到四个象限，尝试用负数描述与刻画图形的位置关系。此外，还要从图形运动的动态视角认识图形的特征，拓宽学生的认知视角。这些都体现了大观念3、4。
重构之后的单元框架如下：
三、实施：如何设计大任务感悟原理一致性
2022年版课标指出，课程内容结构化，不仅是知识结构化，还强调学生学习方式的结构化。在“图形与几何”复习中，我们试图设计结构化的大任务，驱动学生理解、感悟大观念，实现从“碎片化学习”到“整体性学习”的转变，建立知识内在联系，建构具有创造性、可迁移、可运用的知识体系。为此，我们在前三节关键课例中设计了具有内在一致性和逻辑性的系列任务（见图5）。
（一）归纳关联唤醒已有具体概念
在复习教学之前，学生通过自主复习，概括归纳“图形与几何”领域内容，并用思维导图的方式呈现，旨在培养学生对知识进行梳理和关联的能力，不仅有利于对知识内容本身的理解和掌握，还有利于提高学生展开自主学习的意识和能力。课堂上通过“完善思维导图”的任务，驱动学生回顾该领域所有的“具体概念”。结果表明，学生对该领域内容能较完整地回忆并罗列所学知识，但相互之间的联系掌握得不够（见图6），这不仅为结构化课堂提供了有利的素材，也使我们思考如何基于学生立场设计下一步的驱动任务。
（二）化繁为简感悟大观念
在学生对该领域知识进行了整体梳理后，后续教学中对整理结果的反馈就是重点，我们的办法是在教学中对已有的、全部的知识内容进行削减，化繁为简，感悟大观念。所以三节关键课例中我们设计了三个递进的驱动任务（见图7），问题一：“这么多的图形/公式/单位，能不能“砍掉”一些？”这个任务指向具体概念间的区别，学生难以取舍，因为图形特征或者属性不同；问题二：“为什么每一类留下一个公式就可以了”，引发学生思考具体概念间的结构关联；问题三：“剩余的这4个还能再砍掉吗”，让学生深入思考具体概念背后的本质关联——大观念，引导学生体验知识的整体性与原理的一致性。
1.关于图形特征的讨论
有关图形特征的问题设计主要指向大观念1，具体如下。
问题1：这么多图形，能不能“砍掉”一些？想一想最少留几个？
问题2：为什么每一类留下一个图形就可以了？剩余的这4个还能再砍掉吗？
问题3：图形的特征是由什么决定的？
这三个问题是递进的。教学中，学生围绕问题1展开了激烈讨论，经过艰难取舍最终确定每一类留下一个图形，在这个过程中学生进一步理解了同维度图形之间的关系。问题2的讨论是要打通不同维度图形之间的关联，最终指向图形特征的核心要素：边。只要改变边的长度或者边的位置关系，这个图形的特征也就跟着发生变化，就推演出了整个图形结构，感悟到图形的特征是由边这个核心要素决定的。
2.关于量与计量的讨论
有关量与计量的问题设计主要指向“度量思想”，确切的说是“度量”中确定标准的阶段，具体如下。
问题1：这么多的单位，能不能少记一些？想一想最少留几个？
问题2：剩余的这7个还能再“砍掉”吗？
问题3：你觉得世界上还有什么可以度量呢？怎么度量？
度量标准具有客观性、恒定性和统一性等特点。经过问题1的讨论进一步明确各类计量单位所刻画的事物属性，感受单位的客观性。经过问题2的讨论，打通计量单位之间的联系，再次深入感悟“标准”。问题3的讨论则将数学中的度量方法延伸到更广的领域，掌握度量的本质过程：制定标准——制造工具——精确刻画。
3.关于度量公式的讨论
图形度量相关计算公式复习的问题设计则指向“度量”中单位计数的阶段，具体如下。
问题1：这么多的公式，能不能“砍掉”一些？想一想最少留几个？
问题2：还有没有留得更少的？留下了哪4个计算公式，为什么留这4个？
问题3：这4个公式你们觉得还能再砍吗？
度量的本质是“单位的计数”，即数度量单位的个数。经过第一个问题的讨论，学生留下了4到10个公式，进一步讨论，驱动学生自主回顾和关联图形间的联系，让学生经历从“记具体公式———记三个维度——记度量本质”的过程，深入感悟度量的本质。
当然，教学中可以结合实际情况引导学生适当回顾计算公式的提炼过程，唤醒记忆。周长就是数有几个长度单位，面积就是数有几个面积单位，体积就是数有几个体积单位，即度量的本质就是数计量单位。公式只是数计量单位个数的简便运算，只要记住度量的本质即可。
（三）矛盾冲突联结具体概念和大观念
经过“砍掉”具体概念、感悟大观念的过程，学生心里一定有疑问，既然我们只要记住领域的大观念，为什么还要学习这么多的图形、公式和单位呢？因而在大观念统领下学生将数学知识重新架构后，在课堂上要反思这样的矛盾冲突，使学生明白“大观念”与“具体概念”之间的联系，感悟“大观念”涵盖数学基础知识、基本技能和基本思想方法，是不超脱具体概念而存在的。
本文以“图形与几何”领域总复习为例，对大观念统摄下的复习教学作了一些探讨。大观念下的整体复习教学，需要在知识结构中去定位、感悟知识点的意义和价值。在具体教学中，通过把握统整领域内容的线索和脉络，将“碎片化”的内容整理成更合理的结构，以大任务驱动促使学生在学习中自主关联和整体建构，体会大观念与具体概念的联系，帮助学生感悟知识的整体性与原理的一致性，最终养成“主动关联、自主建构”的结构化思维意识与方式。
（作者单位：浙江省湖州市湖师附小教育集团）