行列式与线性方程组解的关系

行列式与线性方程组解的关系

引用

CSDN

1.

https://m.blog.csdn.net/m0_52537869/article/details/144171110

在线性代数中，行列式与线性方程组的解之间存在着密切的联系。本文将探讨行列式如何帮助我们判断线性方程组解的存在性和唯一性，特别区分了齐次和非齐次方程组的情况。

齐次线性方程组

齐次线性方程组的形式为

$$
Ax = 0
$$

其中 $A$ 是系数矩阵，$x$ 是变量向量，$0$ 是零向量。

1. 行列式非零（$\det(A) \neq 0$）：

   如果系数矩阵 $A$ 的行列式非零，那么 $A$ 是非奇异矩阵，方程组只有零解。这是因为非奇异矩阵保证了方程组的系数矩阵是满秩的，不存在非零向量 $x$ 使得 $Ax = 0$ 除了零向量本身。

2. 行列式为零（$\det(A) = 0$）：

   如果系数矩阵 $A$ 的行列式为零，那么 $A$ 是奇异矩阵，方程组除了零解外，还至少存在一个非零解。这是因为奇异矩阵意味着矩阵的行或列之间存在线性相关，导致方程组的解空间维度大于零，存在无穷多解。

非齐次线性方程组

非齐次线性方程组的形式为

$$
Ax = b
$$

其中 $A$ 是系数矩阵，$x$ 是变量向量，$b$ 是非零向量。

1. 行列式非零（$\det(A) \neq 0$）：

   如果系数矩阵 $A$ 的行列式非零，那么 $A$ 是非奇异矩阵，方程组有唯一解。这个解可以通过 $x = A^{-1}b$ 计算得出，其中 $A^{-1}$ 是矩阵 $A$ 的逆矩阵。

2. 行列式为零（$\det(A) = 0$）：

   如果系数矩阵 $A$ 的行列式为零，那么 $A$ 是奇异矩阵，方程组可能没有解，也可能有无穷多个解。这是因为奇异矩阵意味着矩阵的行或列之间存在线性相关，导致方程组可能不一致，即不存在任何向量 $x$ 使得 $Ax = b$。

总结

行列式提供了判断线性方程组解的存在性和唯一性的一个有效工具。

• 对于齐次方程组，如果系数矩阵的行列式非零，则方程组只有零解；如果行列式为零，则方程组有无穷多解。
• 对于非齐次方程组，如果系数矩阵的行列式非零，则方程组有唯一解；如果行列式为零，则方程组可能没有解，也可能有无穷多解，需要进一步分析方程组来确定解的存在性和个数。

通过理解行列式与线性方程组解的关系，我们可以更好地解决实际问题中的线性方程组求解问题。