挂谷猜想专题系列——怎样移动针头的简单数学

挂谷猜想专题系列——怎样移动针头的简单数学

引用

澎湃

1.

https://m.thepaper.cn/newsDetail_forward_30064544

想象一下，你正坐在一辆无人驾驶汽车上，突然前方出现了一个交通堵塞。一辆亚马逊送货货车在试图绕过一辆并排停放的UPS卡车时卡住了。在这种情况下，你的汽车会启动三点转弯来绕过障碍物。这个简单的几何算法不仅帮助你脱困，还引出了一个困扰了数学家一个多世纪的几何问题——挂谷针问题（Kakeya's needle problem）。

图源：Robert Neubecker|Quanta

从汽车调头到数学问题

当你开车时，可能会遇到需要调头的情况。例如，三点转弯（three-point turn）是一种常见的调头方法：

1. 首先，汽车沿着一条弯曲的路径驶向一个路边。
2. 一旦到达之后，它就会转向另一个方向并倒回到对面的路边。
3. 然后，它将方向盘朝第一个弯曲路径的方向转回来，向前行驶并远离障碍物。

三点转弯调头 图源：Merrill Sherman|Quanta

这种简单的几何算法可以帮助你在紧张的情况下绕过障碍物。但这里有一个有趣的数学问题：你需要多少空间来让你的汽车调头？

挂谷针问题的历史

这个问题始于1917年，当时日本数学家挂谷宗一（Sōichi Kakeya）提出了一个看起来有点像我们的交通拥堵的问题。他问：将一根长度为1的无限细的针旋转180度并将其返回到原始位置的最小区域的面积是多少？

简化假设

与许多数学问题一样，这个问题涉及一些简化的假设：

• 针的长度为1，宽度为0（这意味着针本身的面积为零）。
• 针可以绕其前端、后端或之间的任何点旋转。

最小区域的探索

让我们尝试找到允许针旋转180度的最小区域：

1. 最简单的答案是将针绕其终点旋转180度，然后将其向上滑动。这会将针返回到其原始位置，但它现在指向相反的方向。这个区域是一个半径为1的半圆，其面积为A=½πr⊃2;=½π(1)⊃2;=½π=π/2 。

2. 更好的方法是围绕针的中点旋转。这将形成一个半径为½的圆，其面积为A=πr⊃2;=π(½)⊃2;=π¼=π/4 。

3. 使用三点转向（类似于汽车调头）可以形成一个三角旋轮线（deltoid），其面积恰好是π/8 。

五点转弯调头 图源：Merrill Sherman|Quanta

贝西科维奇的突破

1928年，俄罗斯数学家艾布拉姆·贝西科维奇（Abram Besicovitch）发现了一个惊人的结果：你可以通过使用特殊的几何构造（如N字形移动）来进一步减小这个区域，直到它变得任意小。这个发现彻底改变了挂谷针问题的研究方向。

练习题

1. 用作挂谷针集的最小等边三角形的面积是多少？
2. 通过使用“鲁洛Reuleaux三角形”，你可以比练习1中的等边三角形做得更好一点，“鲁洛三角形”是由三个重叠的圆扇形形成的区域。有效的最小鲁洛三角形的面积是多少？

答案

1. 一个高为1的等边三角形的空间足以容纳在顶点上的针头，可以从一条边摆动到另一条边。一旦在边上，它可以滑到另一个顶点，旋转并继续其旅程，直到返回其起始位置并指向相反方向。边长s的等边三角形的面积为A=√3s⊃2;/4，你可以使用三角学或勾股定理来确定高为1的等边三角形的边长为2/√3 。因此，所求面积A=√3/4×(2/√3)⊃2; = √3/4×4/3 = √3/3。或者使用三角形面积公式A=½bh=1/2 × 2/√3 × 1 = 1/√3 = √3/3。

2. 取三个扇形，每个扇形的半径为1，角度为60度，然后排列它们，使它们均重叠一个边长为1的等边三角形。该区域允许长度为1的针完全旋转。将三个扇形的面积相加就使得重叠三角形面积被算了3次，因此总面积是三个扇形面积之和减去两倍重叠三角形的面积：3(⅙π1⊃2;)–2(√3/4×1⊃2;)=π/2–√3/2≈0.705 。提示：其中在计算三个扇形面积之和时，也可以直接将三个（60度）扇形面积之和看成半圆面积½π1⊃2;=π/2 。

结语

虽然我们可能永远不会看到人工智能驱动的汽车走出挂谷针尖般的转弯轨迹，但我们仍然可以欣赏它近乎虚无的美丽和简单。这个看似简单的几何问题，实际上蕴含了深刻的数学原理，展现了数学之美。

本文原文来自Quanta Magazine