抛物线的定义及标准方程

抛物线的定义及标准方程

抛物线的生活实例

• 投篮运动
• 萨尔南拱门

抛物线及其标准方程

实验模型

如图，点F是定点,L是不经过点F的定直线。H是L上任意一点，过点H作，线段FH的垂直平分线交MH于点M，拖动点H，观察点M的轨迹，你能发现点M满足的几何条件吗？

抛物线定义

平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线

• 其中
• 定点F叫做抛物线的焦点
• 定直线l叫做抛物线的准线

定义告诉我们：

1. 判断抛物线的一种方法
2. 抛物线上任一点的性质：|MF|=|MH|

练习

1. 到定点（3，0）与到直线的距离相等的点的轨迹是（）

• A.椭圆
• B.双曲线
• C.抛物线
• D.直线

2. 到定点（3，0）与到直线的距离相等的点的轨迹是（）

• A.椭圆
• B.双曲线
• C.抛物线
• D.直线

答案：CD

抛物线的标准方程

求曲线方程一般步骤

1. 建：建立直角坐标系
2. 设：设所求的动点(x,y)
3. 限（现）：根据限制条件列出等式
4. 代：代入坐标与数据
5. 化：化简方程

标准方程的推导

如图，以过F点垂直于直线的直线为轴，F和垂足的中点为坐标原点建立直角坐标系K

则F（，0），：x=-

设动点M的坐标为（x，y），

由|MF|=|MH|可知，化简得y2=2px（p＞0）

其中焦点F（，0），准线方程l：x=-

p的几何意义是：焦点到准线的距离

四种抛物线的标准方程

• 图形
• 标准方程
• 焦点坐标
• 准线方程

四种形式标准方程及图像的共同特征

1. 二次项系数都化成了_______
2. 四种形式的方程一次项的系数都含2p
3. 四种抛物线都过____点；焦点与准线分别位于此点的两侧，且离此点的距离均为____

四种形式标准方程及图像的区别

1. 一次项(x或y)定焦点
2. 一次项系数符号定开口方向

• 正号朝坐标轴的正向
• 负号朝坐标轴的负向

应用

例1

已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程

解：∵2P=6,∴P=3

所以抛物线的焦点坐标是（，0）准线方程是x=是一次项系数的是一次项系数的的相反数

练习

求下列抛物线的焦点坐标和准线方程

1. y2=-20x
2. y=6x2

• 焦点F(-5,0)
• 准线：x=5
• 焦点F(0,)
• 准线：y=－

例2

已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2）求它的标准方程

解：因为焦点在y的负半轴上,所以设所求的标准方程为x2=-2py

由题意得，即p=4

∴所求的标准方程为x2=-8y

解题感悟

求抛物线标准方程的步骤：

1. 确定抛物线的形式
2. 求p值
3. 写抛物线方程

巩固提高

求过点A（-3，2）的抛物线的标准方程

解：

1. 当抛物线的焦点在y轴的正半轴上时，把A（-3，2）代入x2=2py，得p=
2. 当焦点在x轴的负半轴上时，把A（-3，2）代入y2=-2px，得p=

∴抛物线的标准方程为x2=y或y2=x。

注意：焦点或开口方向不定，则要注意分类讨论

例3

一种卫星接收天线的轴截面如图。卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处。已知接收天线的口径为4.8m,深度为0.5m，试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标。

小结

1. 理解抛物线的定义,
2. 掌握抛物线的标准方程的四种形式以及P的几何意义.
3. 注重数形结合、分类讨论思想的应用

练习

根据下列条件写出各自的抛物线的标准方程

1. 焦点是F（3，0）
2. 焦点到准线的距离为2

y2=12x
y2=4x,
y2=－4x,
x2=4y,
x2=－4y

作业

P73A组：1,2（必做）

补充：求经过点p（4，-2）的抛物线的标准方程。

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