经典力学（动力学）——刚体的转动
经典力学（动力学）——刚体的转动
刚体的转动是经典力学中的一个重要概念，它涉及到角速度、角加速度、转动惯量、角动量等多个物理量。本文将从刚体的定义出发，详细讲解刚体转动的基本原理和相关定律，帮助读者建立对刚体转动的全面理解。
刚体的定轴转动 力矩
刚体
刚体的定义：在外力作用下，形状和大小都不发生改变的物体。
刚体的运动形式包括平动和转动。
平动：刚体中所有点的运动轨迹都保持相同，各点运动状态一样（如v,a），此时，刚体上任意一点的运动可以代表整个刚体的运动。
刚体转动的角速度和角加速度
角坐标：θ = θ ( t ) \theta =\theta (t)θ=θ(t)
逆时针：θ > 0 \theta >0θ>0,顺时针：θ < 0 \theta<0θ<0
角位移：Δ θ = θ ( t + Δ t ) − θ ( t ) \Delta \theta = \theta (t+\Delta t)-\theta (t)Δθ=θ(t+Δt)−θ(t)
角速度矢量：ω = lim Δ t → 0 Δ θ Δ t = d θ d t \omega = \lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta \theta}{\Delta t}=\frac{d\theta}{dt}ω=Δt→0lim ΔtΔθ =dtdθ ω \omegaω方向：右手螺旋方向。
刚体定轴转动（一维转动）的转动方向可以用角速度的正负表示。
角加速度：α ⃗ = d ω ⃗ d t \vec{\alpha}=\frac{d\vec{\omega}}{dt}α=dtdω
匀变速转动公式
当刚体绕定轴转动的α \alphaα=常量时，刚体做匀变速转动。
质点 | 刚体 |
|---|---|
v = v_0 + at | ω = ω_0 + αt |
x = x_0 + v_0t + \frac{1}{2}at^2 | θ = θ_0 + ω_0t + \frac{1}{2}αt^2 |
v^2 = v_0^2 + 2a(x-x_0) | ω^2 = ω_0^2 + 2α(θ-θ_0) |
角量与线量的关系
（1）v ⃗ = r ω e ⃗ t \vec{v}=r\omega \vec{e}_tv=rωet
（2）a_t = r α, a_n = r ω^2
力矩
力矩是用来描述力对刚体的转动作用的物理量。
F ⃗ \vec{F}F对转轴z的力矩定义为：M ⃗ = r ⃗ × F ⃗ → M = F r s i n θ = F d \vec{M}=\vec{r} \times \vec{F} \to M= Frsin\theta = FdM=r×F→M=Frsinθ=Fd其中d是力臂。
转动惯量 转动定律
质点的转动惯量
设单个质点m mm与转轴刚性连接
M = r F s i n θ = r F_t = r(ma_t) = rm(rα) = mr^2α = Jα
定义：J = m r^2 J=mr^2J=mr2为质点m mm对O OO的“转动惯量”
转动定律：刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。
J = ∑_j Δ m_jr_j^2; J=\int r^2dmJ=j∑ Δmj rj2 ;J=∫r2dm
(1)M = 0 , ω 不变 M=0,\omega 不变M=0,ω不变
(2)α ∝ M J \alpha \propto \frac{M}{J}α∝JM
(3)M = J α = J d ω d t M=J\alpha = J\frac{d\omega}{dt}M=Jα=Jdtdω
说明：
（1）M MM与α \alphaα方向相同
（2）为瞬时关系
（3）转动中M = J α M=J\alphaM=Jα与平动中F = m a F=maF=ma地位相同。
角动量 角动量守恒定律
角动量
质点的运动描述：p ⃗ = m v ⃗ , E_k=mv^2/2p =mv,Ek =mv2/2
刚体定轴转动描述：L = J ω , E_k=Jω ^2/2L=Jω,Ek =Jω2/2
角动量定义：质量为m mm的质点以速度v ⃗ \vec{v}v在空间运动，某一时刻对O的位矢为r ⃗ \vec{r}r，则质点对O的角动量定义为：
L ⃗ = r ⃗ × p ⃗ = r ⃗ × m v ⃗ \vec{L}=\vec{r} \times \vec{p}=\vec{r}\times m\vec{v}L=r×p =r×mv大小： L = r m v s i n θ 大小：L=rmvsin\theta大小：L=rmvsinθ
L ⃗ \vec{L}L的方向符合右手法则，角动量单位：k g ⋅ m^2 ⋅ s^{-1} kg\cdot m^2\cdot s^{-1}kg⋅m2⋅s−1
如图：质点以ω \omegaω作半径为r rr的圆周运动，相对于圆心的角动量为:L = m r^2 ω = J ω L=mr^2\omega = J\omegaL=mr2ω=Jω
质点的角动量定理：M ⃗ = d L ⃗ d t = r ⃗ × F ⃗ \vec{M}=\frac{d\vec{L}}{dt}=\vec{r}\times \vec{F}M=dtdL =r×F
作用于质点的合外力对参考点 O 的力矩，等于质点对该点 O 的角动量随时间的变化率。
又可得冲量矩：
M ⃗ d t = d L ⃗ ⇒ 冲量矩： ∫t_1^t_2 M ⃗ d t = L ⃗_2 - L ⃗_1 \vec{M}dt=d\vec{L}\Rightarrow 冲量矩：\int{t_1}^{t_2}\vec{M}dt=\vec{L}_2-\vec{L}_1Mdt=dL⇒冲量矩：∫t1 t2 Mdt=L2 −L1
所以质点的角动量定理又可以表述为：对同一参考点 O ，质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量。
由上式可知：
如果M ⃗ = 0 ，则 L ⃗ = r ⃗ × m v ⃗ = 恒矢量 \vec{M} =0，则\vec{L}=\vec{r}\times m\vec{v}=恒矢量M=0，则L=r×mv=恒矢量
即：质点的角动量守恒定律：若质点所受合外力对某给定点 O 的力矩为 0 ，则质点对 O 点的角动量保持不变
刚体定轴转动的角动量
M ⃗ d t = d L ⃗ = d ( J ω ⃗ ) ⇒ ∫t_1^t_2 = J ω_2 - J ω_1 \vec{M}dt=d\vec{L}=d(J\vec{\omega})\Rightarrow \int{t_1}^{t_2}=J\omega _2-J\omega _1Mdt=dL=d(Jω)⇒∫t1 t2 =Jω2 −Jω1
定轴转动刚体的角动量定理：转动物体所受合外力矩的冲量等于在这段时间内转动物体角动量的增量。
若 M = 0 , 则 L = J ω = 常量 若M=0,则L=J\omega =常量若M=0,则L=Jω=常量
定轴转动刚体的角动量守恒定律：如果物体所受合外力矩等于0，或者不受外力矩的作用，物体的角动量保持不变。
力矩做功 刚体定轴转动的动能定理
力矩做功
d W = F ⃗ ⋅ d r ⃗ = F c o s φ ∣ d r ∣ = F_t d s = F_t r d θ = M d θ dW=\vec{F}\cdot d\vec{r}=Fcos\varphi |dr|=F_tds=F_trd\theta =Md\thetadW=F⋅dr=Fcosφ∣dr∣=Ft ds=Ft rdθ=Mdθ
⇒ 力矩的功： W = ∫θ_1^θ_2 M d θ \Rightarrow力矩的功：W=\int{\theta _1}^{\theta _2}Md\theta⇒力矩的功：W=∫θ1 θ2 Mdθ
说明：所谓力矩做功，实质上韩式力的功，并无任何关于力矩的功的新的定义，只是在刚体转动中，用力矩和角位移的积来表示更为方便而已。
力矩的功率：P = d W d t = M d θ d t = M ω P=\frac{dW}{dt}=M\frac{d\theta}{dt}=M\omegaP=dtdW =Mdtdθ =Mω
比较： W = ∫ F ⃗ ⋅ d r ⃗ ; P = F ⃗ . v ⃗ 比较：W=\int \vec{F}\cdot d\vec{r};P=\vec{F}.\vec{v}比较：W=∫F⋅dr;P=F.v
当M ⃗ \vec{M}M与ω ⃗ \vec{\omega}ω同方向，W WW和P PP为正
当M ⃗ \vec{M}M与ω ⃗ \vec{\omega}ω反方向，W WW和P PP为负
转动动能：E_k=\sum_i\frac{1}{2}\Delta m_iv_i^2=\frac{1}{2}(\sum_i \Delta m_iv_i^2)\omega ^2=\frac{1}{2}J\omega ^2------(和E_k=\frac{1}{2}mv^2)比较Ek =i∑ 21 Δmi vi2 =21 (i∑ Δmi vi2 )ω2=21 Jω2−−−−−−(和Ek =21 mv2)比较
刚体绕定轴转动的动能定理
W = ∫_θ_1^θ_2 M d t = ∫_θ_1^θ_2 J d ω d t d θ = ∫ω_1^ω_2 J ω d ω = \frac{1}{2}J\omega_2^2-\frac{1}{2}J\omega_1^2 W=\int{\theta _1}^{\theta 2}Mdt=\int{\theta _1}^{\theta 2}J\frac{d\omega}{dt}d\theta=\int{\omega _1}^{\omega _2}J\omega d\omega=\frac{1}{2}J\omega_2^2-\frac{1}{2}J\omega_1^2W=∫θ1 θ2 Mdt=∫θ1 θ2 Jdtdω dθ=∫ω1 ω2 Jωdω=21 Jω22 −21 Jω12
比较：W = ∫ F ⃗ d r ⃗ = 1 2 m v 2 2 − 1 2 m v 1 2 W=\int \vec{F}d\vec{r}=\frac{1}{2}mv_2^2-\frac{1}{2}mv_1^2W=∫Fdr=21 mv22 −21 mv12