勒让德多项式及其性质
勒让德多项式及其性质
勒让德多项式是数学物理中一类重要的特殊函数，广泛应用于物理学、工程学等领域。本文将详细介绍勒让德多项式的定义、推导过程及其主要性质，帮助读者深入了解这一经典数学内容。
一、勒让德多项式的定义与推导
勒让德多项式是由勒让德方程的通解推导出来的，所以我们首先引入勒让德方程，以及勒让德方程的幂级数解，勒让德方程的表达式如下：
$$
(1-x^2)y'' - 2xy' + n(n+1)y = 0 \quad (1.1)
$$
其中 $n$ 为非负实数。
它的幂级数解如下：
$$
y = \sum_{k=0}^{\infty} a_k x^k \quad (1.2)
$$
其中：
$$
a_{k+2} = \frac{k(k+1) - n(n+1)}{(k+2)(k+1)} a_k \quad (1.3)
$$
$$
a_0, a_1 \text{ 可以任意取值} \quad (1.4)
$$
由达朗贝尔判别法可知，当 $n$ 不为整数时，这两个级数的收敛半径为1，在（1.3）式和（1.4）式中，$a_0$ 与 $a_1$ 可以任意取值，它们起着任意常数的作用，显然，在区间（－1，1）内 $y_1$ 和 $y_2$ 都是方程（1.1）的解，所以（1.2）是（1.1）的通解。
上面（1.3）和（1.4）幂级数当 $|x| < 1$ 时级数收敛，此外级数是发散的。并且，我们发现，当 $n$ 取非负整数时，$y_1$ 和 $y_2$ 中有一个便退化为 $n$ 次多项式，它就是方程（1.1）在闭区间[-1,1]上的有界解。此时，适当的选定这个多项式的最高次幂系数 $a_n$，所得的多项式称为 $n$ 阶勒让德多项式或第一类勒让德函数，记作 $P_n(x)$，下面我们来推导勒让德多项式 $P_n(x)$ 的表达式。
- 当 $n$ 为正偶数时 $y_1$ 退化为 $n$ 次多项式。为求得 $P_n(x)$ 的表达式，在 $y_1$ 中我们通过 $a_0$ 来表示其它各项的系数。为此，将系数递推关系式改写成下列形式：
$$
a_{k+2} = -\frac{(n-k)(n+k+1)}{(k+2)(k+1)} a_k \quad (1.5)
$$
在（1.5）式中取 $k=0$，得：
$$
a_2 = -\frac{n(n+1)}{2} a_0 \quad (1.6)
$$
习惯上取 $a_0$ 为 $1$：
$$
a_0 = 1 \quad (1.7)
$$
于是有：
$$
a_2 = -\frac{n(n+1)}{2} \quad (1.8)
$$
在（1.5）式中取 $k=2$，并利用 $a_2$ 之值得：
$$
a_4 = \frac{n(n-2)(n+1)(n+3)}{2 \cdot 4} a_0 \quad (1.9)
$$
一般地，我们有
$$
a_{2m} = (-1)^m \frac{(n-m+1)(n-m+2) \cdots n \cdot (n+1)(n+2) \cdots (n+m)}{2^m m!} a_0 \quad (1.10)
$$
我们将这些系数带入（1.3）中，并把此时的 $y_1$ 记作 $P_n(x)$，可得：
$$
P_n(x) = \sum_{m=0}^{n/2} (-1)^m \frac{(n-m+1)(n-m+2) \cdots n \cdot (n+1)(n+2) \cdots (n+m)}{2^m m!} x^{2m} \quad (1.11)
$$
这就是当 $n$ 为正偶数时勒让德多项式。
- 当 $n$ 为正奇数时 $y_2$ 退化为 $n$ 次多项式，我们把 $y_2$ 记作 $P_n(x)$，同理可得：
$$
P_n(x) = \sum_{m=0}^{(n-1)/2} (-1)^m \frac{(n-m+1)(n-m+2) \cdots n \cdot (n+1)(n+2) \cdots (n+m)}{2^m m!} x^{2m+1} \quad (1.12)
$$
把（1.11）和（1.12）写成统一的形式，得
$$
P_n(x) = \frac{1}{2^n n!} \frac{d^n}{dx^n} \left[ (x^2 - 1)^n \right] \quad (1.13)
$$
其中 $[n/2]$ 表示 $n$ 的整数部分
由上述讨论可知，当 $n$ 为非负整数时，$y_1$ 和 $y_2$ 中有一个是 $n$ 阶勒让德多项式，而另一个是无穷级数，记作 $Q_n(x)$，称为第二类勒让德函数，此时方程（1.1）通解为：
$$
y = c_1 P_n(x) + c_2 Q_n(x) \quad (1.14)
$$
特别当 $n=0,1$ 时，由（1.11）和（1.12）式得：
$$
P_0(x) = 1, \quad P_1(x) = x
$$
它们的图形如下：
二、勒让德多项式的性质
首先介绍一下勒让德多项式的母函数：
试将函数
$$
\frac{1}{\sqrt{1-2xt+t^2}} \quad (1.15)
$$
展开成 $t$ 的幂级数
$$
\sum_{n=0}^{\infty} P_n(x) t^n \quad (1.16)
$$
可以证明
级数展开式中 $P_n(x)$ 的系数恰好是勒让德多项式，最终得到
$$
\frac{1}{\sqrt{1-2xt+t^2}} = \sum_{n=0}^{\infty} P_n(x) t^n \quad (1.17)
$$
因此称 $\frac{1}{\sqrt{1-2xt+t^2}}$ 为勒让德多项式的母函数。
- $P_n(-x) = (-1)^n P_n(x)$
将式（1.17）中的 $x$ 以 $-x$ 代入，$t$ 以 $-t$ 代入，立即得到此结果。此式说明 $P_n(x)$ 的奇偶性由 $n$ 而定，当 $n$ 为偶数时，$P_n(x)$ 为偶函数，当 $n$ 为奇数时，$P_n(x)$ 为奇函数。
- $P_n(1) = 1$
将 $x=1$ 代入式（1.17），得到
$$
\frac{1}{\sqrt{1-2t+t^2}} = \sum_{n=0}^{\infty} P_n(1) t^n
$$
而
$$
\frac{1}{\sqrt{1-2t+t^2}} = \frac{1}{1-t} = \sum_{n=0}^{\infty} t^n
$$
所以
$$
P_n(1) = 1
$$
由上式和（1.18）立即得到
- 勒让德多项式的递推公式：
$$
(n+1)P_{n+1}(x) = (2n+1)xP_n(x) - nP_{n-1}(x) \quad (1.20)
$$
$$
P'{n+1}(x) - P'{n-1}(x) = (2n+1)P_n(x) \quad (1.21)
$$
$$
xP'n(x) = nP_n(x) + (n-1)P{n-1}(x) \quad (1.22)
$$
$$
P'{n+1}(x) - P'{n-1}(x) = (2n+1)P_n(x) \quad (1.23)
$$
$$
P'{n+1}(x) - P'{n-1}(x) = (2n+1)P_n(x) \quad (1.24)
$$
现在我们来证明（1.20）及其它的导数公式，将母函数
分别对 $t$ 微分，得到
得到下列两个恒等式
（1.25）
（1.26）
又从式（1.25）和（1.26）得到
（1.27）
将（1.17）两端分别对 $t$ 微分，得到
（1.28）
（1.29）
然后将它们带入（1.27），得到
于是得到
与导数之间的关系式
其它的导数公式这里不在一一证明。
将式（1.17）和（1.29）代入式（1