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数据分析中的置信区间（CI）：概念、计算及应用

创作时间:

作者:

@小白创作中心

数据分析中的置信区间（CI）：概念、计算及应用

引用

CSDN

https://m.blog.csdn.net/jianqimingtian/article/details/145657569

置信区间（CI）是数据分析中一个重要的统计概念，用于估计真实总体值可能所在的范围。本文将详细介绍置信区间的定义、计算方法及其在数据科学中的应用，帮助读者更好地理解和应用这一统计工具。

置信区间（CI）是什么？

置信区间（CI）是一个值范围，用于估计真实总体值可能下降的位置。与其说学生的平均身高是 165 厘米，不如说我们 95% 的信心，真正的平均身高在 160 厘米到 170 厘米之间。

在深入研究置信区间之前，您应该熟悉以下内容：

t 检验
z 检验

解释置信区间

假设我们抽取 50 名学生的样本，计算出他们平均身高的 95% 置信区间，结果是 160-170 厘米。这意味着，如果我们重复采用类似的样本，则这些区间的 95% 将包含总体中所有学生的真实平均身高。

置信区间

Confidence level 告诉我们 true 值在计算范围内的确定程度。如果我们必须多次重复采样过程，我们预计这些区间的一定百分比将包括 true 值。

90% 置信度：90% 的区间将包括真实的总体值。
95% 置信度：95% 的区间将包括数据科学中常用的真实值。
99% 置信度：99% 的区间将包含真实值，但区间会更宽。

为什么置信区间在数据科学中很重要？

它们有助于衡量预测和估计中的不确定性。
通过这些数据，科学家们找到了可靠的结果，而不仅仅是给出一个数字。
它们广泛用于 A/B 测试、机器学习和调查分析，我们稍后会研究这些分析以检查结果是否有意义。

构造置信区间的步骤

要计算置信区间，请遵循以下简单的 4 个步骤：

步骤 1：确定样本问题。

定义要估计的总体参数，例如，学生的平均身高。选择正确的统计数据，例如样本均值。

第 2 步：选择置信度。

在此步骤中，我们选择置信度，一些常见的选择是 90%、95% 或 99%。它代表了我们对估计的确定程度。

第 3 步：找到误差幅度。

要找到 Margin of Error，请使用以下公式：

M一个rg我n of Error=Cr我t我c一个l V一个lue×St一个nd一个rd ErrorMargin of Error=Critical Value×Standard Error

对于小样品，使用 Z 表或 T 表找到临界值。首先，您选择显著性水平（α），对于 95% 的置信水平，该水平通常为 0.05。然后决定您是执行单尾还是双尾测试，其中双尾是更常见的选择。在此之后，您可以根据显著性水平和测试类型在 Z 表或 T 表中查看相应的值。

标准误差衡量样本的变异性，通过将样本的标准差除以样本量的平方根来计算。将临界值和标准误差组合在一起，可以得到误差幅度，它告诉您预期真实值所在的范围。

步骤 4：指定置信区间。

要找到 Confidence Interval，我们使用以下公式：

Conf我dence 我nterv一个l=Po我nt Est我m一个te±M一个rg我n of ErrorConfidence Interval=Point Estimate±Margin of Error

现在，Point Estimate 通常是样本的平均值或平均值。这是基于样本数据对真实值的最佳猜测。Margin of Error（边距误差）告诉您样本数据可能与我们在上一步中计算的真实值相差多少。

因此，当您从点估计值中增加或减去误差幅度时，您会得到一个范围。此范围告诉您真实值可能落在何处。

置信区间的类型

一些常见的 Confidence Interval 类型包括：

置信区间的类型

1. 正态分布数据平均值的置信区间

当我们想根据样本找到总体的平均值时，我们使用这种方法。

如果样本量较小（小于 30），则使用 T 分布，因为小样本往往具有更大的可变性。
如果样本量很大（超过 30），则我们使用 Z 分布，因为大样本往往给出更准确的估计值。

2. 比例的置信区间

在估计人口比例（如喜欢产品的人数百分比）时，使用此类型。在这里，我们使用样本比例、标准误差和临界 Z 值来计算区间。它为我们提供了基于样本数据的实际值可能落在何处的想法。

3. 非正态分布数据的置信区间

有时，您拥有的数据不是正态分布的，这意味着它不遵循钟形曲线。在这种情况下，传统的置信区间并不是最好的方法。相反，我们可以使用 bootstrap 方法。这涉及对数据进行多次重新采样以创建不同的样本，然后从这些重新采样中计算置信区间。

计算置信区间

在了解了 t 检验和 z 检验之后，我们现在开始讨论如何计算置信区间。要计算置信区间，您需要两个关键统计数据：

平均值（μ） — 算术平均值是数字的平均值。它被定义为 n 个数字之和除以数字计数直到 n。

μ=1+2+3+…+nn

标准差（σ） — 它是衡量数字分布程度的指标。它被定义为每个数字与平均值之差的平方和。

σ=∑(xi−μ)2n

获得这些后，您可以使用 t 分布或 z 分布计算置信区间，具体取决于样本量，无论总体标准差是否已知。

A）使用 t 分布

当您的样本量较小（通常为 n < 30）并且您不知道总体标准差时，我们使用 t 分布。这在 A/B 测试等领域或处理小型数据集时很常见。

请考虑以下示例。随机抽取 10 名 UFC 战士的样本并测量他们的体重。发现平均体重为 240 公斤。构建平均重量的 95% 置信区间估计值。样品标准差为 25 kg。求所有 UFC 战士的真实平均体重的样本的置信区间。

分步过程：

自由度（df）：

对于 t 分布，我们首先计算自由度： df=n−1=10−1=9DF 系列=n−1=10 -1=9

显著性水平（α）：

置信水平（CL）为 95%，因此显著性水平为： α=1– CL2=1–0.952=0.025α=21–CL =21–0.95 =0.025

从 t 分布表中查找 t 值：

从 df = 9 和 α = 0.025 的 t 表中，t 值为 2.262，可以使用下表找到。

（df）/（α） 0.1 0.05 0.025 ..
∞ 1.282 1.645 1.960 ..
1 3.078 6.314 12.706 ..
2 1.886 2.920 4.303 ..
: : : : ..
8 1.397 1.860 2.306 ..
9 1.383 1.833 2.262 ..

在公式中应用 t 值：

置信区间的公式为： μ±t(σn)μ±t(n σ )使用以下值：240±2.262×(2510)240±2.262×(10 25 )

置信区间变为： (222.117,257.883)(222.117,257.883)

因此，我们有 95% 的信心认为 UFC 战士的真实平均体重在 222.117 公斤到 257.883 公斤之间。

这可以使用 Python 的库进行计算，以查找 t 值并执行必要的计算。stats 模块提供各种统计函数、概率分布和统计检验。

scipy.stats

import scipy.stats as stats
import math

sample_mean = 240
sample_std_dev = 25
sample_size = 10
confidence_level = 0.95

df = sample_size - 1
alpha = (1 - confidence_level) / 2
t_value = stats.t.ppf(1 - alpha, df)
margin_of_error = t_value * (sample_std_dev / math.sqrt(sample_size))
lower_limit = sample_mean - margin_of_error
upper_limit = sample_mean + margin_of_error

print(f"Confidence Interval: ({lower_limit}, {upper_limit})")

输出：

Confidence Interval: (222.1160773511857, 257.8839226488143)

B）使用 Z 分布

当样本量较大（n > 30）或总体标准差已知时，将使用 z 分布。这在大规模调查、市场研究中很常见。

请考虑以下示例。随机抽取 50 名成年女性的样本并测量她们的红细胞计数。样本均值为 4.63，RBC 计数的标准差为 0.54。为成年女性的真实平均 RBC 计数构建 95% 置信区间估计。

分步过程：

找到问题中给出的平均值和标准差。
查找置信水平的 z 值：

对于 95% 置信区间，z 值为 1.960。

在公式中应用 z 值： μ±z(σn)

使用值：下表中的一些常见值：

置信区间 z 值
90% 1.645
95% 1.960
99% 2.576

置信区间变为：（4.480,4.780）

因此，我们有 95% 的信心认为成年女性的真实平均 RBC 计数在 4.480 和 4.780 之间。

现在让我们使用 Python（统计库）实现它

from scipy import stats
import numpy as np

sample_mean = 4.63
std_dev = 0.54
sample_size = 50
confidence_level = 0.95

standard_error = std_dev / np.sqrt(sample_size)
z_value = 1.960
margin_of_error = z_value * (std_dev / math.sqrt(sample_size))
lower_limit = sample_mean - margin_of_error
upper_limit = sample_mean + margin_of_error

print(f"Confidence Interval: ({lower_limit:.3f}, {upper_limit:.3f})")

输出：