复数的物理意义详解：从几何旋转到欧拉公式

复数的物理意义详解：从几何旋转到欧拉公式

引用

CSDN

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https://m.blog.csdn.net/u011555996/article/details/137084952

复数是数学中的一个重要概念，它不仅在数学理论中占据重要地位，还在物理学、工程学等领域有着广泛的应用。复数的物理意义，特别是虚数单位i的旋转特性，是理解这一概念的关键。

对于复数，最直观的理解，就是旋转！乘以虚数 i , 就是旋转。虚数不是数，而是旋转量！

我们知道， i 的平方是 -1, 那么2 * i * i = -2，相当于在数轴上将 2 旋转了 180度。也就是说，旋转了两个 i 是180度。那么，旋转一个 i 呢？显然就是 90度了。也就是说，通过旋转，我们获得了一个垂直的虚数轴。实数轴和虚数轴共同构成了一个复数的平面，也称为复平面。

函数 exp(t) 的图像大家都能想象的出来。那么，如果是 e 的 it 次方呢？乘以 i 了是怎么旋转的呢？图像如下（注意：垂直往上的轴是时间轴）：

其中，螺旋线怎么形成的呢？看下图：

现在，就要引出欧拉公式了：

其中，当 x = pi 时，

欧拉公司的关键作用，就是将正弦波统一成了简单的指数形式。我们再来看上面的图，欧拉公式所描绘的，是一个随时间变化，在复平面上做圆周运动的点。随着时间的改变，在时间轴上就变成了一条螺旋线。如果只看它的实数部分，也就是螺旋线左侧的投影，就是基础的余弦函数。而右侧的投影，就是一个正弦函数。

复数的物理意义在很多领域都有重要应用。例如，在电路分析中，复数可以用来表示交流电的相位差；在量子力学中，波函数本身就是复数形式；在信号处理中，傅里叶变换将信号分解为复指数函数的叠加，这些都是复数旋转特性的具体体现。