贝塔分布(Beta Distribution)简介及其应用
贝塔分布(Beta Distribution)简介及其应用
贝塔分布（Beta Distribution）是一种在[0, 1]区间上定义的连续概率分布，广泛应用于统计学和机器学习领域。它具有两个形状参数α和β，能够灵活地拟合各种形状的概率密度曲线。本文将从贝塔分布的定义出发，通过具体案例深入探讨其在实际问题中的应用。
一、贝塔分布的定义
贝塔分布是一个连续的概率分布，只有两个参数。它最重要的应用是为某项实验的成功概率建模。
Beta分布是一个定义在[0, 1]区间上的连续概率分布族，它有两个正值参数，称为形状参数，一般用α和β表示。在贝叶斯推断中，Beta分布是Bernoulli、二项分布、负二项分布和几何分布的共轭先验分布。Beta分布的概率密度函数形式如下：
$$
f(x;\alpha,\beta) = \frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1} = \frac{1}{\mathrm{B}(\alpha,\beta)}x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}
$$
这里的Γ表示gamma函数。
Beta分布的均值是：
$$
\frac{\alpha}{\alpha+\beta}
$$
方差是：
$$
\frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}
$$
Beta分布的图形：
（1）beta分布的概率密度函数：
（2）beta分布的累计概率密度函数：
从Beta分布的概率密度函数的图形我们可以看出，Beta分布有很多种形状，但都是在[0, 1]区间内，因此Beta分布可以描述各种[0, 1]区间内的形状（事件）。因此，它特别适合为某件事发生或者成功的概率建模。同时，当α = 1，β = 1的时候，它就是一个均匀分布。
二、贝塔分布的应用举例
假设一个概率实验只有两种结果，一个是成功，概率是X，另一个是失败，概率为1 - X。其中，X的值我们是不知道的，但是它所有可能的情况也是等概率的。如果我们对X的不确定性用一种方式描述，那么，可以认为X是一个来自于[0, 1]区间的均匀分布的样本。这是很合理的，因为X只可能是[0, 1]之间的某个值。同时，我们对X也一无所知，认为它是[0, 1]之间任何一个可能的值。这些都与[0, 1]均匀分布的性质契合。现在，假设我们做了n次独立重复的实验，我们观察到k次成功，n - k次失败。这时候我们就可以使用这些实验结果来修订之前的假设了。换句话说，我们就要计算X的条件概率，其条件是我们观察到的成功次数和失败次数。这里计算的结果就是Beta分布了。在这里，在总共n次实验，k次成功的条件下，X的条件概率是一个Beta分布，其参数是k + 1和n - k + 1。
1. 为棒球运动员的击球率建模
在棒球运动中，有个叫平均击球率的概念。就是用一个运动员击中棒球的次数除以他总的击球数量。一般情况下，棒球运动员的击球概率在0.266左右。高于这个值就是不错的运动员了。
假设我们要预测一个运动员在某个赛季的击球率，我们可以使用已有的数据计算。但是在赛季刚开始的时候，他击球次数少，因此无法准确预测。比如他只打了一次球，那击球率就是1或者0，这个显然是不对的，我们也不会这么预测。因为我们都有一个先验期望。即根据历史情况，我们认为一个运动员大概的击球率应当是在0.215到0.360之间。因此，当一个运动员在赛季开始就被三振出局，那么我们可以预期这个运动员的击球率可能会略低于平均值，但他不可能是0。
那么，在这个运动员的例子中，关于在赛季开始的击球情况，可以使用二项式分布表示，也就是一系列击球成功和失败的实验（假设之间相互独立）。同时，我们也会给这个数据一个先验期望（即统计中的先验知识），这个先验的分布一般就是Beta分布。这里的Beta分布就是用来修正我们观测到的运动员的击球率的（简单来说就是即便开始这个运动员被三振出局了，我们也只会预测他的击球率可能低于平均水平，但不会是0）。
假设该用户的击球率的分布是一个参数为θ的分布（这里θ既表示一个分布，也是这个分布的参数。因为在概率图模型中，我们经常使用某个分布的参数来代替说明某个模型），也就是说θ是用户击球成功的概率。假设，到目前为止，用户在这个赛季总共打了n次球，击中的次数是x，这是一个二项式分布，即p(y | θ) = Binomial(x; n, θ)。我们的目标就是推导θ分布的形式并估算这个参数的值。这就变成了在贝叶斯推断中的求后验概率的问题了：
$$
p(\theta | y, \alpha, \beta) = \frac{p(y | \theta) p(\theta | \alpha, \beta)}{p(y)}
$$
在这里，分母p(y)是数据结果，也就是常数。分子第一个项是二项式分布，即p(y | θ) = θ^x(1-θ)^(n-x)，分子的第二项是Beta分布的结果了。详细结果后面再说。在这里，最后我们会发现θ也是一个Beta分布。其结果为
$$
Beta(\alpha+x, \beta+(n-x))
$$
比如，假设所有的运动员击球率在0.27左右，范围一般是0.21到0.35之间。这个可以用参数α = 81和β = 219的Beta分布表示，即Beta(81, 219)。为什么参数取这两个值呢？因为这两个参数的Beta分布的均值是0.27，主要的区间是[0.2, 0.35]。假设某个用户击球300次，成功100次，那么，根据计算的结果，用户的击球率的分布应当是Beta(181, 419)，其概率大约是均值0.303，要比平均水平略高。
2. 为顺序统计量建模
假设有个机器可以随机产生[0, 1]之间的随机数，机器运行10次，第7大的数是什么，偏离不超过0.01？
这个问题的数学化表达如下：
（1）X1, X2, ..., Xn ∼ Uniform(0,1), i.i.d.
（2）将这n个随机变量排序得到顺序统计量X(1), X(2), ..., X(n)
（3）X(k)的分布是什么？
我们可以假设计算Xk落在区间[x, x+Δx]上的概率：
$$
P(x \leq X_k \leq (x + \Delta x)) = ?
$$
我们将区间分成三个部分[0, x), [x, x+Δx], [x+Δx, 1]。假设只有1个数落在区间[x, x+Δx]内，那么该事件可以表示：
$$
E=\left{X_1 \in[x, x+\Delta x], X_i \in[0, x), X_j \in(x+\Delta x, 1]\right}
$$
其中，i = 2, ..., k，j = k+1, ..., n
从而有：
$$
P(E) = x^{k-1} (1 - x - \Delta x)^{n-k} \Delta x = x^{k-1} (1 - x)^{n-k} \Delta x + o(\Delta x)
$$
其中o(Δx)表示Δx的高阶无穷小。根据推断，落在[x, x+Δx]区间的事件超过一个，则对应的事件概率就是o(Δx)。进而我们可以得到Xk的概率密度为：
$$
f(x) = \frac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(k) \Gamma(n-k+1)} x^{k-1}(1-x)^{n-k} = \frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha) \Gamma(\beta)} x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}
$$
上式即为一般意义上的beta分布。