计量经济学中的工具变量法（IV）详解
计量经济学中的工具变量法（IV）详解
工具变量法（Instrumental Variables Method，简称IV法）是计量经济学中处理内生性问题的重要方法。本文将从内生性的定义和来源出发，详细介绍工具变量法的原理、估计过程、两阶段最小二乘法（2SLS）、内生性检验、弱工具变量问题以及过度识别检验等内容。
1. 内生性（Endogeneity）
定义：指一个模型中的变量不是随机分配的，受到模型中其他变量的影响。
解释变量与误差项相关：
$$Cov(X_r, u) \neq 0$$
其中，$X_r$为内生自变量。
来源：
- 模型误设
- 测量误差
- 联立性/双向因果
- 样本选择性
后果：OLS估计不一致
来源
- 模型误设
- 函数形式错误（是否存在非线性的函数形式）
- 是否包含无关变量
- 是否遗漏变量
- 测量误差
- X、Y的值未被真实记录，如家庭收入
- 联立性/双向因果
- 联立性：两个变量之间的因果关系不是单方向的，它们之间相互影响
- 在单方程模型中，如果至少一个解释变量同时由被解释变量y部分决定，模型就出现了联立性问题。此时，$E(u|x) \neq 0$。
- 样本选择性
- 样本选择性指的是我们所观察的被解释变量Y的结果，部分地受到行为主体是否参与某项活动选择的影响，从而导致我们所得到的样本成为非随机的样本。
内生性产生的原因和后果，主要是违背了$E(u|x) \neq 0$。
参考伍德里奇的计量经济学导论
MLR.1 线性于参数
MLR.2 随机抽样
MLR.3 不存在完全共线性
MLR.4 零条件均值 $E(u|x) = 0$
MLR.5 同方差性 $Var(u|X) = \sigma^2$
MLR.6 正态性 $\mu \sim Normal(0, \sigma^2)$
在MLR.1-5，估计量为最优线性无偏估计量（BLUEs）的
在MLR.1-6，为经典线性模型（CLM）（classical linear model）
2. 工具变量法
定义
若$X_k$为内生的解释变量，可分解为两个部分，与误差项u相关，与误差项u无关。若能找到一个或多个变量Z，与$X_k$相关，但与u无关，就可通过Z将$X_k$中与u无关的部分分离出来，从而识别出$X_k$中对y的边际影响，且这个结果具有一致性。这种方法称为工具变量法（Instrumental Variables Method，简称IV法）。
工具变量的2个条件
（1）工具外生性：z与u不相关，即$Cov(z,u) = 0$
（2）工具相关性：z与x相关，即$Cov(z,x) \neq 0$
所以：
$\beta_1$的工具变量（IV）估计量：
$$\widehat{\beta_{1}} = \frac{\sum_{i=1}^{n}(z_{i}-\bar{z})(y_{i}-\bar{y})}{\sum_{i=1}^{n}(z_{i}-\bar{z})(x_{i}-\bar{x})}$$
$\beta_0$的工具变量（IV）估计量：
$$\widehat{\beta_{0}} = \bar{y} - \widehat{\beta_{1}}·\bar{x}$$
3. IV估计
结构方程（structural equation）
考虑两个解释变量条件下的标准线性模型
$$y_1 = \beta_0 + \beta_1 × y_2 + \beta_2 × z_1 + u_1$$
$z_1$是外生的，与$u_1$不相关。
$y_2$，表示该变量被怀疑与$u_1$相关。
考虑多个解释变量条件下的标准线性模型
$$y_1 = \beta_0 + \beta_1 × y_2 + \beta_2 × z_1 + ··· + \beta_k × z_{k-1} + u_1$$
工具变量$z_k$需要满足的条件：
- 在结构方程中不出现；
- 与error term不相关；
- 与内生解释变量部分相关(如果完全相关，那就是自己了)
估计过程
对于，$y_1 = \beta_0 + \beta_1 × y_2 + \beta_2 × z_1 + u_1$，OLS估计量是有偏且不一致的。因此，需要采用寻找$y_2$的工具变量的策略。考虑一个方程中未出现的外生变量$z_2$，关键假定是：
$$E(u_1) = 0$$
$$Cov(z_1, u_1) = 0$$
$$Cov(z_2, u_1) = 0$$
给定零条件均值假定，后面两个等同于$E(z_1u_1) = E(z_2u_1) = 0$
即
$$\sum_{i=1}^{n}(y_{i1}-\hat{\beta}{0}-\hat{\beta}{1}y_{i2}-\hat{\beta}{2}z{i1}) = 0$$
$$\sum_{i=1}^{n}z_{i1}(y_{i1}-\hat{\beta}{0}-\hat{\beta}{1}y_{i2}-\hat{\beta}{2}z{i1}) = 0$$
$$\sum_{i=1}^{n}z_{i2}(y_{i1}-\hat{\beta}{0}-\hat{\beta}{1}y_{i2}-\hat{\beta}{2}z{i1}) = 0$$
根据数据，求解上述三个方程对应的样本来得到$\hat{\beta}{0}$、$\hat{\beta}{1}$、$\hat{\beta}_{2}$，这些估计量叫做工具变量估计量。
关键识别条件
约简型方程（reduced form equation）把内生解释变量写出关于外生变量和误差项的方程
对于，$y_1 = \beta_0 + \beta_1 × y_2 + \beta_2 × z_1 + u_1$
如果我们认为$y_2$是外生的，并选择$z_2 = y_2$，则上述三个方程恰好是OLS的一阶条件，但我们需要$y_2$和$z_2$相关。从偏相关的角度来表述这一假定，将把内生解释变量写出关于外生变量和误差项的一个线性函数：
$$y_2 = \pi_0 + \pi_1·z_1 +\pi_2 ·z_2 + v_2$$
其中，$E(v_2) = 0，Cov(z_1, v_1) = 0，Cov(z_2, v_1) = 0$
关键识别条件是$\pi_2$不等于0，即排除了$z_1$的影响后，$z_2$和$y_2$仍相关。
4. 两阶段最小二乘法
工作原理：2SLS首先构造出与内生解释变量$x_k$相关度最强的工具变量的线性组合$\widehat{x}$，然后再用y对$\widehat{x}$做回归，从而得到一致性的估计。$\widehat{x}$被认为是内生解释变量被外生化的部分。
第一阶段，用OLS法进行X关于工具变量Z的回归，并记录X的拟合值；
第二阶段，以得到的X的拟合值代替X作为解释变量，进行OLS回归。
5. 内生性检验
内生性检验，也即是否需要使用工具变量？
当解释变量外生时，2SLS不如OLS有效，因此需要检验一个解释变量是否真的存在内生性。
方法：
豪斯曼检验
豪斯曼检验则用来检验是否有内生性问题
$H_0$：所有解释变量均为外生变量
注：豪斯曼原假设假设同方差情况，修正为“杜宾-吴-豪斯曼检验”(Durbin-Wu-Hausman Test，DWH),可以考虑异方差情况下的内生性。
6. 弱工具问题（weak instruments）
如果工具变量与内生变量的相关性很弱，$cov(z,x) \approx 0$，会导致估计量$\widehat{\beta_{iv}}$的方差变得很大，称为“弱工具变量问题”
会导致如下后果：
方差：IV估计值的标准误可能很大
期望：即使z与u只是适度相关，IV估计量的渐近偏误也可能很大，可能会导致有偏的估计。
$R^2$: $R^2 = 1 - \frac{SSR}{SST}$, SSR是IV残差平方和，实际上可能会大于SST，所以IV的$R^2$可能为负。
为检验是否存在弱工具变量，可在第一阶段回归中，检验所有方程外的工具变量的系数是否联合为零。
也即检验$H_0: \alpha_1 = \alpha_2 = ··· =\alpha_k = 0$，详见第一张图中的辅助回归方程。
若检验的F统计量大于10 则拒绝“存在弱工具变量”的原假设。
7. 过度识别检验
- 不可识别(unidentified)：工具变量个数小于内生解释变量个数；
- 恰好识别(just or exactly identified)：工具变量个数等于内生解释变量个数；
- 过度识别(overidentified)：工具变量个数大于内生解释变量个数
过度识别检验：检验在过度识别情况下，工具变量的外生性。
过度识别检验的基本思想是：在一个过度识别的模型中，如果所有的工具变量都是有效的（满足外生性条件），那么不同工具变量对参数的估计结果应该是一致的。如果工具变量与误差项相关（工具变量无效），则会导致估计的不一致，从而可以通过检验来发现问题。
注：在恰好识别的情况下，只有唯一的工具变量估计量，无法进行比较，故过度识别检验失效。
假设检验：
原假设（$H_0$）：所有工具变量是外生的（即工具变量与误差项无相关性）。
备择假设（$H_1$）：至少有一个工具变量是内生的（即工具变量与误差项相关）。
过度识别约束检验：
- 用2SLS法估计结构方程，获得2SLS残差$\hat{u_1}$；
- 将$\hat{u_1}$对所有外生变量回归，获得$R^2$，即$R^2_1$；
- 在所有IV都与$u_1$不相关的原假设下，$nR^2_1 \sim \chi^2_q$，其中q是模型之外的工具变量数目减去内生解释变量的总数目。如果$nR^2$超过了临界值，拒绝$H_0$，并推断出至少部分IV不是外生的。