空间曲线在坐标面上的投影

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@小白创作中心

空间曲线在坐标面上的投影

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来源

https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?kid=374

空间曲线在坐标面上的投影

设空间曲线 $C$ 方程为 $\left{\begin{array}{l}F\left(x,y,z\right)=0,\ G\left(x,y,z\right)=0,\end{array}...\left(4\right)$

消去 $z$ 可得方程 $H\left(x,y\right)=0...\left(5\right)$ ，

如果点 $M\left(x,y,z\right)$ 满足 (4)，则其中的 $x，y$ 就必定满足 (5)，而 (5) 表示一个母线平行于 $z$ 轴的柱面，因此曲线 $C$ 在柱面 (5) 上.

以曲线 $C$ 为准线，母线平行于 $z$ 轴 (即垂直于 $xOy$ 面) 的柱面叫做曲线 $C$ 关于 $xOy$ 面的投影柱面，而该投影柱面与 $xOy$ 面的交线叫做空间曲线 $C$ 在 (坐标面) $xOy$ 面上的投影曲线. (简称投影) . 因此曲线 $C$ 在 $xOy$ 面上的投影曲线为

$\left{\begin{array}{c}H\left(x,y\right)=0,\ z=0.\end{array}\right.$

同理，在 (4) 式中消去 $x$ 或 $y$ ，可得平行于 $x$ 轴或 $y$ 轴的投影柱面 $R\left(y,z\right)=0$ 或 $T\left(y,z\right)=0$ ，

就得到相应的投影曲线为 $\left{\begin{array}{c}R\left(y,z\right)=0,\ x=0,\end{array}\right.$ 或投影曲线为 $\left{\begin{array}{c}T\left(x,z\right)=0,\ y=0.\end{array}\right.$

例1求曲线 $\left{\begin{array}{l}{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}=1,\ z=\frac{1}{2}\end{array}\right.$ 在坐标面上的投影曲线方程.

解 (1)消去变量 $z$ 后得 ${x}^{2}+{y}^{2}=\frac{3}{4}$, 在 $xOy$ 面上的投影为

$\left{\begin{array}{l}{x}^{2}+{y}^{2}=\frac{3}{4},\ z=0.\end{array}\right.$

(2) 因为曲线在平面 $z=\frac{1}{2}$ 上，所以在 $xOz$ 面上的投影为线段

$\left{\begin{array}{l}z=\frac{1}{2},\phantom{\rule{1em}{0ex}}|x|\le \frac{\sqrt{3}}{2};\ y=0.\end{array}\right.$

(3) 同理在 $yOz$ 面上的投影也为线段

$\left{\begin{array}{l}z=\frac{1}{2},\ x=0,\end{array}\right.\phantom{\rule{1em}{0ex}}|y|\le \frac{\sqrt{3}}{2}.$

例2 求抛物面 ${y}^{2}+{z}^{2}=x$ 与平面 $x+2y-z=0$ 的截线在三个坐标面上的投影曲线方程.

解截线方程为 $\left{\begin{array}{l}{y}^{2}+{z}^{2}=x,\ x+2y-z=0\end{array}\right.$.

(1) 消去 $z$ 得投影 $\left{\begin{array}{l}{x}^{2}+5{y}^{2}+4xy-x=0\text{,}\ z=0.\end{array}\right.$

(2) 消去 $y$ 得投影 $\left{\begin{array}{l}{x}^{2}+5{z}^{2}-2xz-4x=0,\ y=0.\end{array}\right.$

(3) 消去 $x$ 得投影 $\left{\begin{array}{l}{y}^{2}+{z}^{2}+2y-z=0,\ x=0.\end{array}\right.$