三维坐标旋转矩阵推导过程以及C语言实现

三维坐标旋转矩阵推导过程以及C语言实现

三维坐标旋转矩阵是计算机图形学、机器人学等领域中的重要基础概念。本文从二维坐标点的旋转开始，逐步推导出三维坐标点绕X、Y、Z轴的旋转矩阵，并给出了C语言实现代码。

本文的前提假设如下：

• 坐标系采用右手坐标系
• 角度逆时针旋转为正
• 绕X轴旋转角度为俯仰角（Pitch）
• 绕Y轴旋转角度为偏航角（Yaw）
• 绕Z轴旋转角度为翻滚角（Roll）

1. 平面二维坐标点的旋转

根据三角函数关系，可以列出向量OP与OP'的坐标表示形式：

x = |OP|•cosα
y = |OP|•sinα

x′ = |OP|•cos(α+β)
y′ = |OP|•sin(α+β)

将P′（x′，y′）表达式展开：

x′ = |OP|•cos(α+β) = |OP|•(cosα•cosβ - sinα•sinβ) = x•cosβ - y•sinβ
y′ = |OP|•sin(α+β) = |OP|•(sinα•cosβ + cosα•sinβ) = x•sinβ + y•cosβ

为方便运算理解，我们将二维点旋转表示为矩阵：

2. 立体三维坐标点的旋转

绕Z轴旋转

参考二维点旋转矩阵同样的推导流程，我们可以推导出来三维点绕Z轴旋转的坐标表达式：

x′ = |OP|•cos(α+β) = |OP|•(cosα•cosβ - sinα•sinβ) = x•cosβ - y•sinβ
y′ = |OP|•sin(α+β) = |OP|•(sinα•cosβ + cosα•sinβ) = x•sinβ + y•cosβ
z′ = z

为方便运算理解，我们将三维点旋转表示为矩阵：

绕Y轴旋转

绕X轴旋转

绕三轴旋转（先绕x，再绕y，最后绕z轴旋转）

整理后的表达式为：

3. C语言实现

float* matconv(float* a, float b[3][8]) {
    float res[3];
    for (int i = 0; i < 3; i++)
        res[i] = b[i][0] * a[0] + b[i][9] * a[1] + b[i][10] * a[2];
    for (int i = 0; i < 3; i++) a[i] = res[i];
    return a;
}

void rotate(float* obj, float x, float y, float z) {
    x /= M_PI;
    y /= M_PI;
    z /= M_PI;
    float rz[3][11] = {{cos(z), -sin(z), 0}, {sin(z), cos(z), 0}, {0, 0, 1}};
    float ry[3][12] = {{1, 0, 0}, {0, cos(y), -sin(y)}, {0, sin(y), cos(y)}};
    float rx[3][13] = {{cos(x), 0, sin(x)}, {0, 1, 0}, {-sin(x), 0, cos(x)}};
    matconv(matconv(matconv(obj, rx), ry), rz);
}

float point[3] = {15, 17, 0};
rotate(point, 0.1, 0.2, 0.3);

4. 与SDL实现旋转的矩形

本文介绍了三维坐标旋转矩阵的推导过程和C语言实现，对于学习计算机图形学、机器人学等领域的读者具有较高的参考价值。本文原文来自博客园。