复杂函数的积分

复杂函数的积分

将复连通区域的柯西定理、柯西积分公式与 阶导数公式结合起来，是计算某些复杂的解析函数绕闭合路径积分的重要工具。

从柯西积分公式出发可以得到，一个单值解析函数的任意阶导数必定存在：

其中积分路径 是一条闭合曲线，函数变量 在闭合积分路径所包围的区域内取值，而积分变量 则在闭合积分路径上取值。

原则上说，求导数总要比求积分容易得多，因此，如果你想要利用上面的式子通过积分来求一个解析函数的导数，结果多半是得不偿失的。上述 阶导数公式只能说明一个单值解析函数的可导性，想用它来求导数并不现实。不过，这个 阶导数公式的意义不仅仅在于保证了 阶导数的存在那么简单，它协同复连通区域的柯西定理与柯西积分公式 (为了简单起见，有时候把 阶导数公式也叫做柯西积分公式) 一起，是计算一些复杂的解析函数绕闭合路径积分 (简称围道积分) 的重要工具。

设想有一个有奇点的复杂的解析函数，我们想要计算它绕某条包围奇点的闭合曲线的积分。对这样一个复杂的函数做积分，用常规的方法很可能是行不通的。但是，如果这个复杂的函数在闭合积分路径所围的区域内有一个奇点 ，并且能够写成类似于

这样的形式，就可以利用前面的 阶导数公式，通过计算的 阶导数在 点的值而快速地把积分算出来：

我们来讨论一个对复杂函数做围道积分的实例，看一看柯西积分公式是如何起作用的。我们要计算下面这个积分：

计算这样的积分可以严格地按照以下程序分几个步骤进行：

第一步，把积分路径画出来。现在要计算的这个积分，它的积分路径是一条满足条件的曲线，这是一个以 2 为圆心，半径等于 3 的圆周；

第二步，把被积函数的奇点找出来，每一个奇点各用一个以该奇点为圆心的小圆围起来，构造一个复连通区域。在这个积分中，被积函数有三个奇点，它们分别是；

第三步，把对闭合路径的积分转换成沿围绕奇点的小圆的积分之和：

第四步，观察沿每个小圆积分时被积函数的特点，把它改写成柯西积分公式的形式。比如说，对沿 的积分，在闭合积分路径 内只有一个奇点。根据这个特点，把这个因子改写成的形式，把其余在点非奇异的因子用一个新的函数符号标记。把积分改写成这个样子后，就把沿 的积分与的二阶导数联系起来了。对沿三个小圆的积分做类似的分析和改写，就得到以下积分公式：

其中三个新的函数分别是这样的：

第五步，把沿每个小圆的积分用柯西积分公式计算出来。比如说，只要算出的二阶导数在点的值，就得到了沿 积分的结果；

最后一步，把沿所有小圆积分的结果加起来：

这就得到了所求积分的结果。