什么是数学建模？从概念到应用的全面解析
什么是数学建模？从概念到应用的全面解析
数学建模是一种通过数学方法解决实际问题的过程。它结合数学理论与实际问题，将抽象的数学模型与具体的实际情况相结合，通过计算机模拟、优化算法等手段，对问题进行分析和求解，从而得到实际问题的答案或者有效的解决方案。
数学建模的概念
数学建模是指运用数学的理论、方法和技术，以模型为基础，通过对实际问题进行抽象、建模、求解和验证，为实际问题的研究和决策提供可靠依据的过程。数学建模可以帮助我们更好地理解、分析、解决实际问题。它是一种综合运用数学、物理、计算机科学和其他相关学科知识的跨学科研究领域，可以应用于各个领域的问题，包括自然科学、工程技术、社会科学、医学、金融等。
数学建模的过程一般包括以下几个步骤：
定义问题和目标：在这个阶段，我们需要对实际问题进行全面的了解，明确研究的目标和需要解决的问题是什么，确定问题的限制和条件。
建立模型：在这个阶段，我们需要根据实际问题的特点和需要解决的问题，选择适当的模型类型，建立数学模型。模型应该尽可能简明明了，能够比较好地描述实际问题，并且便于求解。
求解模型：在这个阶段，我们需要根据所建立的模型，采用数学和计算机科学等相关方法，对模型进行求解，得到具体的结果和解决方案。
验证模型：在这个阶段，我们需要根据模型的求解结果，进行模型的验证。验证模型的正确性和可靠性，以及对模型的结果进行误差分析和敏感性分析，以保证模型的可行性和实用性。
应用模型：在这个阶段，我们需要将模型的结果应用于实际问题的解决中。根据模型的结果，提出相应的决策和措施，实现问题的解决和优化。
数学建模的应用领域
数学建模具有广泛的应用领域和重要性。在物理、化学、生物学和工程技术等领域，数学建模可以帮助我们解决复杂的系统问题，如气候模型、流体力学模型、生物进化模型等。在社会科学领域，数学建模可以应用于经济学、管理学、社会学等领域，对社会现象进行建模和预测，如人口增长模型、市场模型、网络模型等。在医学领域，数学建模可以帮助我们研究疾病的发展和治疗方法，如病毒传播模型、治疗模型等。在金融领域，数学建模可以帮助我们分析风险和投资策略，如股票价格模型、期权评估模型等。
数学建模的实例
航行问题
实际上方程组就是上述航行问题的数学模型。列出方程组，原问题已转化为纯粹的数学问题。方程的解x=20km/h、y=5km/h，最终给出了航行问题的答案。
鸟类问题
大家都做过数学应用题，比如说“树上有十只鸟，开枪打死一 只，还剩几只？”，这样的问题就是一道数学应用题，正确答案应 该是0只。这样的题同样是数学建模题，不过答案就不重要了，重 要是过程。真正的数学建模选手会这样回答这道题。
“是无声手枪吗？”“您确定那只鸟真的被打死啦？”
“树上的鸟里有没有聋子？”“有没有关在笼子里的？”
“边上还有没有其他的树，树上还有没有其他鸟？”
“有没有残疾的或饿的飞不动的鸟？”
“算不算怀孕肚子里的小 鸟？”“打鸟的人眼有没有花？保证是十只？”
“有没有傻的不怕死的？”“会不会一枪打死两只？”
“所有的鸟都可以自由活动吗？”
“如果您的问题没有骗人，打死 的鸟要是挂在树上没掉下来，那么就剩一只，如果掉下来，就一只 不剩。”
双层玻璃窗热量传导问题
材料均匀，热传导系数为常数 Q 单位时间单位面积传导的热量 T温差, d材料厚度, k热传导系数
记双层玻璃窗传导的热量Q1
记单层玻璃窗传导的热量Q2
热量传播只有传导，没有对流
室 内 T1
d
l
d
室 外 T2
Q1
墙
室 内 T1
2d
室 外 T2
Q2
墙
Ta内层玻璃的外侧温度 Tb外层玻璃的内侧温度 k1玻璃的热传导系数 k2空气的热传导系数
军备竞赛模型
乙安全线
y0 0 x
y1 y0 0
y=f ( x)
y0 y f ( x) y0 x
x0
P(xm,ym)甲 安 x=g(y) 全 区 x1 x
P~平衡点(双方最少导弹数)
精细 模型
x<y x=y
乙方残存率 s ~甲方一枚导弹攻击乙方一个 基地，基地未被摧毁的概率。 甲方以 x攻击乙方 y个基地中的 x个, sx个基地未摧毁，y–x个基地未攻击。 y0=sx+y–x y0=sy y= y0+(1-s)x y=y0 / s
数学建模的步骤
模型准备：首先要了解问题的实际背景，明确题目的要求，收集各种必要的信息。
模型假设：为了利用数学方法，通常要对问题做必要的、合理的假设，使问题的主要特征凸现出来，忽略问题的次要方面。
模型构成：根据所做的假设以及事物之间的联系，构造各种量之间的关系把问题化
模型求解：利用已知的数学方法来求解上一步所得到的数学问题，此时往往还要作出进一步的简化或假设。
模型分析：对所得结果进行数学的分析。
模型检验：将模型分析结果与实际情形进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性和适用性。如果模型与实际较吻合，则要对计算结果给出其实际含义，并进行解释。如果模型与实际吻合较差，则应该修改假设，再次重复建模过程。
模型应用：应用方式因问题的性质和建模的目的而异
数学建模的重要性
进入20世纪以来，数学以空前的广度和深度向一切领域渗透，作为数学的应用，数学建模也越来越受到人们的重视。在一般工程技术领域，数学模型仍是工程技术人员定量研究有关工程技术问题的重要工具；而随着数学与其他学科领域诸如经济、人口、生态、地质等所谓非物理领域的渗透，一些交叉学科如计量经济学、人口控制论、数学生态学、数学地质学等应运而生；计算机的发展给数学及作为数学应用的数学建模带来了前所未有的机遇和挑战。计算机改变了人类的生活方式、思考方式和研究方式，极大地提高了人们的计算能力、搜索和分析海量数据和信息的能力。
数学建模竞赛
大学生数学建模竞赛自1985年由美国开始举办，竞赛以三名学生组成一个队，赛前有指导教师培训。赛题来源于实际问题。比赛时要求就选定的赛题每个队在连续三天的时间里写出论文，它包括：问题的适当阐述；合理的假设；模型的分析、建立、求解、验证；结果的分析；模型优缺点讨论等。
数学建模竞赛宗旨是鼓励大学师生对范围并不固定的各种实际问题予以阐明、分析并提出解法，通过这样一种方式鼓励师生积极参与并强调实现完整的模型构造的过程。以竞赛的方式培养学生应用数学进行分析、推理、证明和计算的能力；用数学语言表达实际问题及用普通人能理解的语言表达数学结果的能力；应用计算机及相应数学软件的能力；独立查找文献，自学的能力，组织、协调、管理的能力；创造力、想象力、联想力和洞察力。他还可以培养学生不怕吃苦、敢于战胜困难的坚强意志，培养自律、团结的优秀品质，培养正确的数学观。这项赛事自诞生起就引起了越来越多的关注，逐渐有其他国家的高校参加。我国自1989年起陆续有高校参加美国大学生数学建模竞赛。1992年起我国开始举办自己的大学生数学建模竞赛，并成为国家教育部组织的全国大学生四项学科竞赛之一竞赛简介：本竞赛每年9月下旬举行，竞赛面向全国大专院校的学生，不分专业。
数学建模的方法
数学建模是一门跨学科的综合性应用科学研究方法。数学建模的基本步骤包括：问题建模、假设、模型的构建、模型求解和模型评价。在这个过程中，数学建模的核心是模型的构建和求解，其中模型的构建需要理解实际问题的基本特征和数学方法的应用，而模型求解则需要掌握数学分析、数值计算等技能和方法。
数学建模的应用范围非常广泛，包括但不限于自然科学、社会科学、经济学、工程学等领域的问题。数学建模在现实生活中的应用包括：企业生产、物流配送、城市交通规划、自然资源评估、环境保护、金融、医学等各个领域。
数学建模的方法多种多样，常见的数学方法包括：微积分、线性代数、概率论、统计学、优化理论等。通过对实际问题的建模、数学方法的应用和模型求解的计算和分析，数学建模可进一步为决策提供科学依据和参考。
数学建模的主要特点是模型化思维、跨学科交叉和创新性思维。在这个过程中，数学建模要求研究者对问题进行深入的分析和研究，要对数学方法的应用有较大的理解和掌握，并且要结合实际考虑模型的可行性。数学建模的创新性思维则要求研究者在模型的构建和求解中体现出一定的创新性和思维深度。
无论是学术界还是实际应用领域，数学建模的应用都已经深入到各个角落。在数学建模中，数学是一种工具性语言，而模型则是实际问题的一种映射。数学建模不仅促进了数学研究和应用之间的相互促进和发展，还连接了传统学科和新兴学科之间的桥梁，推动了知识的跨领域传播和交流。
数学建模的常见模型
线性规划模型：线性规划是一种常用的数学建模方法，它通过建立线性函数和约束条件，寻找最优解。线性规划可以应用于各种实际问题，如生产调度、资源分配、运输问题等。通过确定决策变量、目标函数和约束条件，可以建立数学模型，并利用线性规划算法求解最优解。
整数规划模型：整数规划是线性规划的一种扩展形式，它要求决策变量为整数。整数规划模型常用于一些离散决策问题，如旅行商问题、装箱问题等。通过引入整数变量和相应的约束条件，可以将问题转化为整数规划模型，并利用整数规划算法求解最优解。
非线性规划模型：非线性规划是一类目标函数或约束条件中存在非线性项的优化问题。非线性规划模型常见于工程设计、经济优化等领域。通过建立非线性函数和约束条件，可以将问题转化为非线性规划模型，并利用非线性规划算法求解最优解。
动态规划模型：动态规划是一种通过将问题分解为子问题并以递归方式求解的数学建模方法。动态规划常用于求解具有最优子结构性质的问题，如背包问题、最短路径问题等。通过定义状态变量、状态转移方程和边界条件，可以建立动态规划模型，并利用动态规划算法求解最优解。
排队论模型：排队论是一种研究队列系统的数学理论，可以用于描述和优化各种排队系统，如交通流、生产线、客户服务等。排队论模型通常包括到达过程、服务过程、队列长度等要素，并通过概率和统计方法分析系统性能，如平均等待时间、系统利用率等。
图论模型：图论是一种研究图结构和图算法的数学理论，可以用于描述和优化各种实际问题，如网络优化、路径规划、社交网络等。图论模型通过定义节点、边和权重，以及相应的约束条件，可以建立图论模型，并利用图算法求解最优解。
随机模型：随机模型是一种考虑不确定性因素的数学建模方法，常用于风险评估、金融建模等领域。随机模型通过引入随机变量和概率分布，描述不确定性因素，并利用概率和统计方法分析系统行为和性能。
模糊模型：模糊模型是一种用于处理模糊信息的数学建模方法，常用于模糊推理、模糊控制等领域。
数学建模的步骤
问题的建立：首先，需要明确问题的目标、所处环境以及问题的限制条件。具体来说，要确定需要解决的问题是什么、为什么需要解决这个问题、解决这个问题对应的适用范围等。
模型的建立：根据实际问题的性质，常见的数学模型包括线性规划模型、非线性规划模型、随机模型等。通过数学模型的建立，可以对问题进行抽象和简化，提高问题的可计算性和可解性。
模型的求解：根据不同的数学模型，常见的求解方法包括数值计算方法、优化算法、随机模拟等。通过模型的求解，可以得到问题的解答、最优解或者有效的解决方案。
模型的验证：对模型的求解结果进行验证和分析。对模型的验证可以通过与实际数据的对比、灵敏性分析、误差分析等方法进行。通过验证结果，可以判断建立的模型是否准确可靠，并根据需要进行调整和优化。
结果的分析与应用：对模型的求解结果进行分析和解释，从而得出实际问题的结论或者决策依据。根据实际问题的需求，可以通过模型的结果进行业务分析、评估和预测等。
数学建模的应用领域
数学建模的应用非常广泛，可以用于科学研究，经济分析，社会研究，工程设计，管理决策，以及其他各种实际问题的分析和解决。在社会科学领域，数学建模可以用来研究社会系统中的结构和行为，以及社会系统中的社会经济、政治、文化等因素之间的关系。在工程科学领域，数学建模可以用来研究和设计工程系统，比如电力系统、燃气系统、水利系统等，以及这些系统中的各种参数和变量之间的关系。
数学建模的基本要素
数据：数据是数学建模的基础，数据不足或不准确会导致模型无法准确反映实际情况。在数学建模过程中，需要收集大量相关数据作为输入。如果数据量不足或数据质量不高，会导致模型精度下降，甚至得出错误的结论。解决这个问题的方法是尽可能多地收集高质量的数据，同时采用合适的数据处理方法对数据进行清洗和预处理，提高数据的质量和准确性。
问题定义：问题定义不清是数学建模中常见的问题，它可能导致模型建立偏离实际需求。在数学建模过程中，首先需要对问题进行清晰、准确的定义。如果问题定义模糊或过于宽泛，会导致建模过程中出现偏差，甚至得出错误的结论。解决这个问题的方法是仔细分析问题，明确问题的边界和约束条件，确保模型能够准确反映实际需求。
代数法：代数法是数学建模中最基本的方法之一，它通过建立代数方程或不等式来描述和解决各种实际问题。例如，在解决几何问题时，可以通过代数法找到未知数，进而求出问题的解。
微积分法：微积分法是数学建模中常用的一种方法，它利用微积分的基本概念和定理来描述和解决实际问题。例如，在经济学中，可以通过微积分法建立需求和供给函数，进而求出市场的均衡价格。
变量选择与参数设定：变量选择需要考虑与问题相关的各种因素，并确定哪些因素对模型输出有显著影响。参数设定则需要根据已知数据和经验进行合理估计，以确保模型的有效性和准确性。
假设条件：假设条件是数学建模中不可或缺的一部分，它们限制了模型的可能解的范围，有助于简化模型并提高预测精度。
数学建模的案例
地貌示意图：进一步问题：你怎样使你的模型适合于下面两个限制条件的情况呢？1.当道路转弯时，角度至少为140度；2.道路必须通过一个已知地点（如P）。
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据标本的主要制作者辽宁大学生命科 学系刘明玉教授介绍，这头猪体长2.5米， 腰围2.23米，体重900公斤，獠牙长144毫米， 属于长白与梅山杂交品种。这头猪能长到 如此重的 程度，主要是由于猪的主人精心 饲养以及生长年限较长所致。
在我国饲养猪主要是用来食用，很少 有人能将猪养至3年以上，而这头猪的主人 徐长金老人5年多来，一直将猪养在室内， 精心地饲喂，直至猪由于躯体过于庞大， 无法正常活动而死亡。
数学建模入门简介
目录
- 数学建模的基本概念
- 数学建模竞赛
- 数学建模技术与数学方法
- 学习建议
- 建模案例
数学建模的基本概念
1.1 数学模型
数学模型(E.A.Bendar 定义)：关于部分现实世界为一定目的而做的抽象、简化 的数学结构。
数学模型是现实世界的简化而本质的描述， 是用数学符号、数学公式、程序、图、表 等刻画客观事物的本质属性与内在联系的 理想化表述.
1.2 数学建模目的
优化决策及控制
预测目的
解释现象
1.3 数学建模一般过程
Step1：问题分析：明确目标，分析条件与数据
Step2：建立模型：简化及假设，总体任务设计， 模型建立
Step3：模型求解：借助软件（包括数学软件）， 编写程序求解（直接调用或自己设计算法）
Step4：结果分析与检验
Step5：如果发现结果有问题或不满意，从上面 某些步骤开始重新操作（自己分析再定）
Step6：回答实际问题、模型评价与改进方向