三角函数值的符号规律详解

三角函数值的符号规律详解

本文节选自《数理化自学丛书6677版》，该系列丛书由“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版。丛书层次大致相当于如今的初高中水平，特别适合用于自学。本文详细介绍了三角函数值的符号规律，包括在不同象限内的符号变化以及终边落在坐标轴上的特殊情况。

第二章 任意角的三角函数

§2-4 三角函数值的符号

【01】 我们已经知道，在研究任意角的三角函数时，角的始边要固定为心轴的正方向。至于它的终边，根据角的大小，可以在任何象限里，或者在坐标轴上。

【02】 锐角的终边在第一象限，终边上任何一点的横坐标，纵坐标都是正的，所以任何锐角的三角函数值都是正的。

【03】 当角的终边在其他的象限里时，根据各象限里点的坐标符号的规定，以及三角函数的定义，可以知道，它的三角函数的值就不一定是正的了。

【04】 记清楚各象限内点的横坐标 x，纵坐标 y 的符号，并且记住原点到任何一点的距离 r 都是正的，就很容易根据三角函数的定义，确定各个函数的符号。

【05】 下表所列是角 α 的三角函数值的符号：

【06】 下面再来研究角的终边在坐标轴上的情形。很明显的，当角的终边分别落在 x 轴的正方向，y 轴的正方向，x 轴的负方向，y 轴的负方向的时候（图2·17），

【07】 它的正弦的值分别是：0，1，0，－1；

【08】 它的余弦的值分别是：1，0，－1，0；

【09】 它的正切的值分别是：0，不存在，0，不存在；

【10】 它的余切的值分别是：不存在，0，不存在，0；

【11】 它的正割的值分别是：1，不存在，－1，不存在；

【12】 它的余割的值分别是：不存在，1，不存在，－1 。

【13】 0°~360° 间这些角的三角函数值，可以列成下表：

习题2-4

1、
(1) 120° 角的哪些三角函数值是负的？

(2) 280° 角的哪些三角函数值是正的？

(3) 560° 角的哪些三角函数值是负的？

2、设
(1) sin α 和 cos α 的符号相反，
(2) tg α 和 sin α 的符号相同，
(3) cos α 和 tg α 的符号相反；
α 应当在怎样的范围内变化（设 α 是小于360°的正角）？

3、设
(1) sin α／tg α＜0，
(2) ctg α／cos α＜0，
(3) sin α·cos α＞0；
角 α 的终边应当在哪些象限？

4、按照绝对值来说：
(1) sec α 能否小于 tg α？
(2) sin α 能否大于 tg α ？
(3) cosec α 能否小于 ctg α ？
(4) cos α 能否大于 ctg α？
并加以解释。

5、设 α 的终边在第三象限内，决定下列各式的符号：
(1) sin α＋cos α；
(2) tg α－sin α；
(3) cos α－ctg α；
(4) sec² α＋tg α＋ctg α 。

6、求下列各式的值：
%205\sin90^\circ+2\cos0^\circ-3\sin270^\circ+10\cos180^\circ;%20\&(2)%20a^2\cos270^\circ+b^2\sin0^\circ+2ab\text{%20ctg%20}270^\circ;%20\&%20(3)%20m\sin270^{\circ}-\frac{n\sin90^{\circ}}{\cos180^{\circ}}+k%20\mathrm{tg}180^{\circ};%20\&\text{(4}%20)%20a^{2}\cos0^{\circ}-b^{2}\sin270^{\circ}+ab\cos180^{\circ}-ab\cos0^{\circ};%20\&%20(5)%20a^{2}\sin90^{\circ}+2ab%20\cos180^{\circ}+\frac{b^{2}}{\cos^{2}0^{\circ}};%20\&\text{(}%206)\sin270^{\circ}-2\cos0^{\circ}-\mathrm{tg}180^{\circ}.%20\end{aligned})

【
%20cos120%C2%B0,%20tg120%C2%B0,%20ctg120%C2%B0,%20sec120%C2%B0,%20\&(2)%20\cos280^{\circ},\sec280^{\circ},\&(3)%20\sin560^{\circ},\cos560^{\circ},\sec50^{\circ}%20\text{cosec}560^{\circ};\&2.(1)90^{\circ}%3C\alpha%3C180^{\circ}\text{%20%E5%92%8C%20}270^{\circ}%3C\alpha%3C360^{\circ},\&(2)0%3C\alpha%3C90%20%E5%92%8C270^{\circ}%3C\alpha%3C360^{\circ}%20\&(3)180^\circ%3C\alpha%3C270^\circ\text{%20%E5%92%8C%20}270^\circ%3C\alpha%3C360^\circ;%20\&\text{3.(1)II%E5%92%8CIII,(2)III%E5%92%8CIV,(3)I%E5%92%8CIII;}%20\&5.(1)%E8%B4%9F,(2)%20\text{%E6%AD%A3},(3)%20\text{%E8%B4%9F},(4)%20\text{%E6%AD%A3};\&6.%20(1)%200,(2)%200,(3)%20n-m,%20\&(4)%20(a-b)^2,(5)%20(a-b)^2,(6)%20-3.\end{aligned})