线性系统根轨迹法详解
线性系统根轨迹法详解
根轨迹法是分析和设计线性控制系统的重要工具，它通过图形化的方式展示了系统闭环极点随系统参数变化的轨迹。这种方法不仅能够帮助工程师直观地理解系统稳定性，还能为系统性能的优化提供有价值的参考。本文将详细介绍根轨迹法的基本概念、绘制方法及其在系统性能分析中的应用。
第四章 线性系统的根轨迹法
1. 概念
根轨迹法的核心是分析系统闭环传递函数的极点随系统参数变化的轨迹。对于一个线性系统，其闭环传递函数可以表示为：
[ \Phi(s) = \frac{G(s)}{1 + G(s)H(s)} ]
其中，(G(s))是系统的前向通道传递函数，(H(s))是反馈通道传递函数。根轨迹法主要关注闭环传递函数的分母，即特征方程：
[ 1 + G(s)H(s) = 0 ]
在根轨迹法中，通常将系统参数表示为根轨迹增益(K^*)，因此特征方程可以改写为：
[ 1 + K^*G(s) = 0 ]
这里需要注意区分根轨迹增益和开环增益：
- 根轨迹增益：(1 + K^*G = 0)（其中(G)必须写成首一式）
- 首一式：(s)的系数为1，例如((-s+1) \to -(s-1))或(s^n + \ldots)
- 参数根轨迹：需要将变化的参数化为根轨迹增益
- 根轨迹增益：从0到无穷大
- 开环增益：(G(s))
- 闭环系统性能：(e_{ss} = \frac{A}{K})，分母是开环增益
2. 根轨迹性质与绘制方法
2.1 基本性质
- 相角条件：(\sum_{j=1}^{m}\angle\left(s-z_{j}\right) - \sum_{i=1}^{n}\angle\left(s-p_{i}\right) = (2k+1)\pi \quad (k=0, \pm1, \ldots))
确定根轨迹时，通常取(-180^\circ)更容易计算。
- 模值条件：(K^{*} = \frac{\prod_{i=1}^{n}\left|s-p_{i}\right|}{\prod_{j=1}^{m}\left|s-z_{j}\right|})
用于确定参数(K)。
- 对称性：
- 根轨迹：(K)从0到(\infty)，180度根轨迹；(K)从0到(-\infty)，0度根轨迹。两段根轨迹并不对称。
- 但根轨迹关于实轴对称（如果有复数极点，必定共轭）。
- 如果开环零极点均为偶数且对称分布于某纵轴（平行于虚轴的直线）左右，则根轨迹对该纵轴对称。
2.2 绘制根轨迹的基本法则
在绘制根轨迹之前，需要列出开环传递函数，写出开环增益(K)的表达式，并确定系统型别。
起点和终点：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。如果开环零点个数(m)少于开环极点个数(n)，则有(n-m)条根轨迹终止于无穷远处（广义零点）。如果开环零点个数(m)大于开环极点个数(n)，则有(m-n)条根轨迹起始于无穷远处（广义极点）。
分支数及对称性：分支数等于(D(s))的阶数，即(\max(m, n))，等于特征根个数。通常情况下，开环传函(G(s))的分母阶数(n)更高，所以分支数即为极点数。
实轴上的根轨迹：从实轴最右端的开环零极点算起，奇数开环零极点到偶数开环零极点间一定是根轨迹，否则一定不是。复数极点两两共轭，不影响实轴上极点的相角条件。如果是零度根轨迹，则从实轴最右端的无穷远点算起。
根之和：闭环系统极点之和等于开环系统极点之和且为常数。
渐近线：当根轨迹延伸到无穷远处时，会趋向于一组渐近线。渐近线的斜率和实轴交点可以通过开环零极点的位置计算得出。
分离点坐标公式：计算分离点坐标的方法有多种，包括使用相角条件和模值条件的组合。
与虚轴的交点：可以通过劳斯判据或直接代入根轨迹方程来计算。
出射角和入射角：这些角度可以通过相角条件计算得出，理解为极点或零点与根轨迹上点之间的角度关系。
3. 根轨迹分析系统性能
通过根轨迹可以分析系统的稳定性、动态特性和稳态误差。具体步骤包括：
- 绘制根轨迹
- 由根轨迹获得闭环传递函数
- 保留主导极点，利用零点极点法分析系统性能
3.1 计算分离点
核心原理是分离点处一定是根轨迹方程的重根，因此重根处一阶导数一定为0。计算方法包括：
- 常规方法：(\sum \frac{1}{d-p_i} = \sum \frac{1}{d-z_j})
- 使用(M'N - N'M = 0)的方法
- 直接求导：(\frac{d}{ds}D(s) = 0)
3.2 由根轨迹获得闭环传递函数
- 闭环零点：前向通道零点，反馈通道极点
- 闭环极点：对应(K^*)时，根轨迹上点的位置
- 闭环增益：需要根据具体情况推导，通常与特征方程的形式有关
3.3 开环传递函数存在零极点对消
- 画根轨迹时正常画
- 根轨迹只反映了随(K^*)变化的极点
- 分析系统性能时，需要手动算闭环传递函数，找全所有闭环极点再进行分析
3.4 PID 对根轨迹影响分析
- P：影响增益，如果比例部分为1，则不影响开环增益
- PD：引入一个开环（实数）零点
- PI：引入一个开环零点，同时引入一个积分环节
- PID：引入两个开环零点，一个积分环节
4. 广义根轨迹法
4.1 参数根轨迹
参数根轨迹是根据闭环传递函数的分母获得根轨迹方程。实质上是一个固定形式的方程(K^D(s) = -1)，根据(K^)的变化映射出一条曲线。
4.2 零度根轨迹
实质上是正反馈时的根轨迹。画根轨迹时，涉及到((2k+1)\pi)的地方都换成(2k\pi)。
5. 上课笔记
考试重点
- 一道大题15分
- 画根轨迹
- 不考出射角入射角
- 不考初始共轭极点
- 不考广义根轨迹
画根轨迹注意事项
- 有重极点时需要画多个叉号
- 求分离点汇合点
- 写出分离点/汇合点的传递函数
- 写出没有超调量K的取值范围
- 求与虚轴交点
- 确定稳定时K的范围
根轨迹方程原理
开环传函(G_0(s) = G(s)H(s) = \frac{K^*\prod_{j=1}^{m}(s-z_j)}{\prod_{i=1}^{n}(s-p_i)})
理想情况下：
根轨迹方程(1 + G(s)H(s) = 0)
即(1 + \frac{K^*\prod_{j=1}^{m}(s-z_j)}{\prod_{i=1}^{n}(s-p_i)} = 0)
(\Phi(s) = \frac{G(s)}{1 + G(s)H(s)} = \frac{G(s)\prod_{i=1}^{n}(s-p_i)}{\prod_{i=1}^{n}(s-p_i) + K^*\prod_{j=1}^{m}(s-z_j)})
分子肯定没有零点，是多项式，分子此时都是极点。
这解释了为什么用根轨迹方程算出的s就是闭环传递函数的极点。
同时也能够理解为什么根轨迹（(K=0 \to \infty)）是从开环传递函数极点出发，到达开环传递函数零点（无穷远点）。
根轨迹的基本特性/规则
- 为什么根轨迹对称于实轴？因为极点要么是实数要么是复数，复数一定是共轭的。
- 为什么复数一定是共轭的，因为出现复数是因为(as^2 + bs + c = 0)的(\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a})会产生共轭根。
- 三次的一定可以化成((s - \varphi)(as^2 + bs + c))，其中(\varphi)不可能是复数，因为如果是复数的话，s的系数就会出现复数（似乎这里要设定我们的s多项式的系数一定是实数）。
- 更高次项同理。
拉普拉斯变换和z变换的零极点问题
- x(t)或x[n]是实信号，其零极点就关于实轴对称，确切说是共轭零极点。
- 为什么开环传递函数极点数n大于零点数m？
- 如何绘制零点数多于极点数的根轨迹 - 知乎
- 零点数对应系统输出部分的阶数，在微分方程中对应于输出那部分求导的最高次数。导数项意味着变化趋势（例如加速度对于速度）。如果输出的阶数更高，整个方程就可以理解为未来输出的变化对当前输入有影响，但显然输出必须在输入之后才能产生。所以才说零点多于极点是违背因果律的。
- 零点大于极点是非因果系统，实际上不存在。
根轨迹绘制法则
- 详见PPT
n阶无差系统的相关题型
- n阶无差系统是，输入信号最高到n阶时，可以保证稳态误差为0。
- 严格依照求稳态误差的那个公式，要保证其趋向于0，说明分子阶数得比分子高！因此，需要让相关参数为0，才能取掉不应该出现的分子的低阶项/分母的高阶项。
输入信号
- (\frac{1}{s}, \frac{1}{s^2}, \frac{1}{s^3})
- (1(t), t, t^2/2)
相角条件
相角条件是确定s平面上根轨迹的充要条件。
根轨迹法的应用
- 通过轨迹可以判断何时系统稳定：求根轨迹与虚轴交点以及对应的开环增益K
- 系统何时欠阻尼（根轨迹处于二三象限），系统何时临界阻尼（极点位于分离/汇合点）
- 极点离虚轴越近，稳定性越差。
- 对于单位负反馈系统，闭环零点就是开环零点，闭环极点由根轨迹表示（根轨迹是由开环传递函数求的，但是求出来的是特征方程的根，是闭环极点）。闭环K就是开环K
- (\frac{G}{1+G} = \frac{\frac{KN}{D}}{1+\frac{KN}{D}} = \frac{KN}{D+KN})
- 通过根轨迹确定（指定位置的）开环增益，对于稳定系统，开环增益与稳态误差有简单的倒数关系。
- 给定要求的阻尼比(\xi)，寻找符合要求的开环增益：(cos\beta = \xi)，找到交点即对应的极点。
- 极点满足(s = -\xi\omega_n + j\omega_n\sqrt{1-\xi^2})，其中(\omega_n)未知。
- 通过交点处极点满足的相角条件列公式可以获得s的准确数值。
- 通过幅值条件可以获得对应的K（其实就是代入特征方程求K值）
求根轨迹思路以及步骤简要总结
根据我做了几道题以及看了作业题答案后的个人偏好。根轨迹可以求的其实只有三个：
- 起始点/（极少情况有起始渐近线），出射角
- 终止点/终止渐近线，入射角
- 分离点，分离角
不过我在做题的时候只是把这个当做验证手段，因为计算了出射角入射角，大致形状以及确定了。因此做题的时候可以依照这个顺序分别进行计算。
在找渐近线时，如果(n-m=1)就不用列式求与实轴交点了。
在计算出射角和入射角的时候，可以统一采用(\sum^i\angle(s-z_i) - \sum^j\angle(s-p_j) = (2k+1)\pi)计算（理解了原理后很好记）。
假如说算极点(p_i)处的出射点，就把(\angle(s-p_i))换成(\theta_{p_i})，其他地方，将s换成(p_i)。因为这就是一个逼近。求得的(\theta)是(p_i \to s)，刚好就是起始角度。
需要注意的是，求入射角时，同样的方法求出的(\theta)是(z_i \to s)，但是我们需要的入射角是(s \to z_i)，因此需要将求得的(\theta)取相反数。
另外在计算(\angle x + jy)时，有一个需要注意的地方，就是不可以直接使用(\arctan{\frac{y}{x}})。因为(\arctan)适用于实际角度为锐角，当实际角度(\theta > 90^\circ ,or, \theta < -90^\circ)时，计算出来的就不对了。因此需要通过一定的转化。
比如说：(\angle -1 + j\sqrt{2})是一个钝角。计算时采用(180^\circ - \arctan{\frac{\sqrt{2}}{1}})（注意这里分母是1，不是-1噢）。
还有在画根轨迹的时候需要积累一定的经验，比如说有的时候轨迹就是绕零点的圆，而不是其他形状。
在计算分离点的时候，需要对计算出来的结果进行判断（此时K是否大于0/是否在K>0画出来的根轨迹上，才符合条件）。
除特殊情况外，分离点是实数，可以直接通过判断分离点是否在实轴根轨迹上确定。因为右侧零极点个数为奇数的才是根轨迹。
特殊情况下比如说下图，这种情况下通过根轨迹一画就知道，因为两个根轨迹直线相向而行，必定会在某处相交，其他情况基本可以判断舍去。
考试不会对分离点考察太难，三阶的话一般可以猜到一个通过长除法化成二阶，再高就只能编程计算了。
闭环零极点分布对系统的影响
- 对时间响应/阶跃响应
- 主导极点决定系统主要的动态特性
- 闭环偶极子互相抵消
如果(m \neq n)，就会存在渐近线，参考(\theta = \frac{(2k+1)\pi}{n-m})
增加开环零极点
- 增加极点：(\uparrow) (\downarrow) 不利 渐近线右偏，到达正半平面
- 增加零点：(\downarrow) (\uparrow) 有利 渐近线左偏
K>0时系统稳定，称为结构稳定（根轨迹全部在左半平面）
增加零极点一般都是默认增加S左半平面的。
增加开环右零点，根据奈氏判据，是会破坏稳定性的。
增加开环右极点，也会导致根轨迹有一部分在右半平面。
考试不考广义根轨迹，不考出射角/入射角（因为根轨迹频率会考）