三角形的5个心
三角形的5个心
在孩子的练习册上看到这样一道题（如下图）。
当三角形三边的三条垂线都画出来时，
你会发现它们相交于一点。
这一点就叫：三角形的垂心。
垂心——三条边的高——即垂线的交点。
三角形是锐角三角形，那么它的垂心就在三角形之内；
如果是一个直角三角形，它的垂心就在直角的顶点上；
如果是一个钝角三角形，它的垂心就在三角形之外。
垂心在初中数学中，最常出现的题目是相似三角形。
因为垂线把大三角形分割成了许多小的直角三角形，这些小三角形彼此相似。
比如，下图中的。
△AOG相似于△COD，△AOH相似于△BOD，△BOG相似于△COH。
往往初中需要利用相似性来计算边长、角度、证明一些推论。
另外，它还牵扯到一些向量知识，
到高中学立体几何的时候，会有涉及。
我写在下面的图里，如果你感兴趣可以看看。
在这里我就不介绍了。
除了垂心，
三角形还有内心、外心、重心、旁心。
它们都很有意思各自有一些数学性质。
容易跟垂心搞混的是外心。
外心是三角形三边上垂直平分线的交点。
因为是垂直平分线的交点，好多孩子就觉得它应该叫垂心。
其实他叫外心，为什么叫外心呢？
因为这是三角形外接圆的圆心。
它是三角形垂直平分线的交点，
垂直平分线上的点到线段两段的距离都是相等的，
很容易得到外心到三角形三个顶点的距离都相等。
那么，以外心为圆心，以到顶点的距离为半径，可以画出三角形的外接圆。
如果一个三角形是锐角三角形，那么外心在内部（如上图）。
如果一个三角形是直角三角形，外心在斜边中线上。
如果一个三角形是钝角三角形，外心在三角形外部。
外心跟垂直平分线挂钩，垂直平分又意味着全等。
所以，你可以找到几对全等三角形。
利用全等能得出很多未知数，这也是初中几何常玩的套路。
有外心就有内心。
三角形的内心是它内切圆的圆心。
它是三角形三个角，角平分线的交点。
正因为这一点，内心始终在三角形内，无论它是什么三角形。
从它往三角形的三边做垂线，
以垂线为半径，O为圆心，可以画出三角形的内切圆。
很容易从得到的小三角形中找到全等关系。
利用全等关系，可以做许多计算。
这点跟外心很像。
另外，如果是一个三角形是等边三角形，它的外心和内心是重合的。
等边三角形很特殊，很多题型也会放到等边三角形里来说。
三角形还有一个重心。
重心是三角形三条中线的交点。
重心始终在三角形之内，无论它是什么三角形。
而且它也是一个高频考点。
它把中线长度分为2：1的三段。
它的坐标是三角形三个端点坐标的算术平均数。
把三角形分成3对面积相等的小三角形。
——由于这一点，如果三角形是质量均等的薄片，那么重心就是它质量的重心。
好酷～
重心在物理方面也有考察，实际中，也有广泛应用。
三角形还有一个旁心。
这个就很少人知道了，好多高中数学老师都不知道。
因为平时做题也用不到，数学科普类课外书也很少提及。
它是三角形一个内角的平分线和其他两个内角的外角平分线的交点，每个三角形有三个旁心。
它在中学几何中不常出现，但是在一些高难度的题目中，会有涉及。
这就是三角形的五个心。
一个小小的三角形就能演化这么多，你还敢说几何简单吗？
最后，再说一个非常有意思的点：
对于任意一个三角形，它的外心、重心、垂心，依次位于一条线上。
这条线就叫欧拉线。
图中红色的就是欧拉线。
你还可以看出，重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍。
利用欧拉线可以做许多有趣的证明，这里不展开了。
这就是本期分享。
谢谢阅读，下次见。