四种方法推导正余弦交流电有效值

四种方法推导正余弦交流电有效值

正余弦交流电的有效值计算是高中物理中的一个重要知识点。本文将通过四种不同的方法来推导正余弦交流电的有效值，帮助读者深入理解这一概念。

我们知道正余弦交流电电流瞬时值表达式：i=i_m sin ωt，瞬时功率P=(i_m sin ωt)^2R={i^2}_m Rsin^2 ωt.

1.拼凑法

根据正余弦函数关系的特点，对同一个正余弦交流电，在一个周期T内，正弦函数i=i_m sin ωt交流电和余弦函数i=i_m cos ωt交流电产生的热量是相同的。

正弦函数瞬时功率P_1=(i_m sin ωt)^2R={i^2}_m Rsin^2 ωt。

余弦函数瞬时功率P_2=(i_m cos ωt)^2R={i^2}_m Rcos^2 ωt。

两式相加可得：P_1+P_2={i^2}_m R恒成立

设在一个周期T内，正弦交流电产生的热量为Q，则正弦和余弦交流电产生的热量和2Q={i^2}_m RT

根据有效值的定义，直流电i_{有效}在交流电周期T内通过电阻R产生的热量Q={i^2_{有效}}RT

可得：2{{i^2}_{有效}}RT={i^2}m RT，\red{i{有效}=\cfrac{i_m}{\sqrt{2}}}

2.面积法

我们知道，如果做出某一电阻的功率时间图像，即P-t图像，那么图像与t轴围城的面积为电阻在时间t内产生的热量Q。

我们根据这个做出正弦交流电功率时间图像，即P=(i_m sin ωt)^2R={i^2}_m Rsin^2 ωt的图像。如下图所示。

上图中的T为正弦交流电的周期，通过对称关系我们很容易看出，在0到\frac{T}{2}时间内，图像与t轴围成的面积和图中三角形的面积相等，所以在一个周期T内，产生的热量在数值上等于上图的两个三角形的面积，即Q=\cfrac{1}{2}{i^2}_m RT

根据有效值的定义，直流电i_{有效}在交流电周期T内通过电阻R产生的热量Q={i^2_{有效}}RT

可得：{{i^2}_{有效}}RT=\cfrac{1}{2}{i^2}m RT，\red{i{有效}=\cfrac{i_m}{\sqrt{2}}}

除了做三角形，也可以做一个矩形，使其和图像与t轴围成的面积相等，如下图：

在0到\frac{T}{2}时间内，图像与t轴围成的面积和图中矩形的面积相等，后面的做法和前面三角形一样，就不再赘述。

3.公式计算法

由正弦函数瞬时功率P=(i_m sin ωt)^2R={i^2}_m Rsin^2 ωt。

其中sin^2 ωt= \cfrac{1-cos2ωt}{2}

可得：P={i^2}_m Rsin^2 ωt= \cfrac{1}{2}{i^2}_m R-\cfrac{1}{2}{i^2}_m Rcos2ωt

通过图像y=cos2ωt图像可知，在交流电的一个周期T内，图像与t轴围成的面积为零，所以一个周期T内产生的热量等价于P= \cfrac{1}{2}{i^2}_m R产生的热量。

即热量Q= \cfrac{1}{2}{i^2}_m RT

根据有效值的定义，直流电i_{有效}在交流电周期T内通过电阻R产生的热量Q={i^2_{有效}}RT

可得：{{i^2}_{有效}}RT=\cfrac{1}{2}{i^2}m RT，\red{i{有效}=\cfrac{i_m}{\sqrt{2}}}

4.积分法

正余弦交流电电流瞬时值表达式：i=i_m sin ωt，瞬时功率P=(i_m sin ωt)^2R={i^2}_m Rsin^2 ωt

Q= \int {Pdt}={i^2}_m R\int {sin^2 ωt}dt

在0到T时间内积分得：

Q={i^2}m R\int{0}^{T}{sin^2 ωt}dt={i^2}m R\int{0}^{T} \cfrac{1-cos2ωt}{2}dt \newline = \cfrac{1}{2}{i^2}m R(\int{0}^{T}dt-\int_{0}^{T}cos2ωt dt)

其中\int_{0}^{T}cos2ωt dt=0

Q=\cfrac{1}{2}{i^2}m R\int{0}^{T}dt=\cfrac{1}{2}{i^2}_m RT

根据有效值的定义，直流电i_{有效}在交流电周期T内通过电阻R产生的热量Q={i^2_{有效}}RT

可得：{{i^2}_{有效}}RT=\cfrac{1}{2}{i^2}m RT，\red{i{有效}=\cfrac{i_m}{\sqrt{2}}}