参数方程的概念以及和普通方程的互化
参数方程的概念以及和普通方程的互化
参数方程是高中数学中的一个重要概念，它与普通方程一起构成了描述曲线方程的两种主要形式。本文将详细介绍参数方程的概念、参数方程与普通方程的互化方法，以及直线和圆的参数方程，并通过具体例题帮助读者更好地理解这一知识点。
参数方程的概念以及和普通方程的互化
- 参数方程的概念
在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标$x$，$y$都是某个变数$t$的函数
$$
\begin{cases}
x=f(t),\
y=g(t),
\end{cases}
$$
并且对于$t$的每一个允许值，由该方程组所确定的点$M(x,y)$都在这条曲线上，那么该方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数$x$，$y$的变数$t$叫做参变数，简称参数。相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。
- 参数方程和普通方程的互化
曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式。一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程。如果知道变数$x$，$y$中的一个与参数$t$的关系，例如$x=f(t)$，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系$y=g(t)$，那么
$$
\begin{cases}
x=f(t),\
y=g(t)
\end{cases}
$$
就是曲线的参数方程。
将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线的类型。
在参数方程与普通方程的互化中，必须使$x$，$y$的取值范围保持一致。
- 直线的参数方程
（1）经过点$M_0(x_0,y_0)$，倾斜角为$α$的直线$l$的参数方程为
$$
\begin{cases}
x=x_0+t\cos α,\
y=y_0+t\sin α
\end{cases}
$$
（$t$为参数）。
$M(x,y)$是直线$l$上与参数值$t$对应的点。
（2）直线参数方程中参数$t$的几何意义：参数$t$的绝对值为直线$l$上的动点$M$到定点$M_0$的距离。
- 圆的参数方程
（1）圆心
圆心在原点$O$，半径为$r$的圆的参数方程为
$$
\begin{cases}
x=r\cosθ,\
y=r\sin θ
\end{cases}
$$
（$θ$为参数），其中参数$θ$的几何意义是$OM_0$绕点$O$逆时针旋转到$OM$的位置时，$OM_0$转过的角度。
推广到一般：圆心为$(a,b)$，半径为$r$的圆的普通方程为$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，它的参数方程为
$$
\begin{cases}
x=a+r\cos θ,\
y=b+r\sin θ
\end{cases}
$$
（$θ$为参数）。
参数方程的相关例题
能化为普通方程$x^2+y-1=0$的参数方程为___
A．
$$
\begin{cases}
x=\sin t,\
y=\cos ^2t
\end{cases}
$$
（$t$为参数）
B．
$$
\begin{cases}
x=\tan φ,\
y=1-\tan ^2φ
\end{cases}
$$
（$φ$为参数）
C．
$$
\begin{cases}
x=\sqrt{1-t},\
y=t
\end{cases}
$$
（$t$为参数）
D．
$$
\begin{cases}
x=\cos θ,\
y=\sin ^2θ
\end{cases}
$$
（$θ$为参数）
答案：B
解析：
A：$y=1-x^2,x∈[-1,1]$；
B：$y=1-x^2,x∈\mathbf{R}$；
C：$y=1-x^2,x∈[0,+∞)$；
D：$y=1-x^2,x∈[-1,1]$，
所以选B。