小数的概念新解：从基础到浮点数存储原理

小数的概念新解：从基础到浮点数存储原理

引用

CSDN

1.

https://m.blog.csdn.net/jjmhx/article/details/144899161

小数是数学中最基础的概念之一，但其背后的原理却远比我们想象的要复杂。本文将从基础的小数概念出发，深入探讨小数的分类以及浮点数在计算机中的存储方式。

一、小数的概念

小数的概念看似简单，实则不然。让我们尝试回答以下几个问题：

• 所有的分数都是小数吗？
• 所有的小数都是分数吗？
• 8.0是不是小数？
• 8是不是小数？
• 整数是不是小数？
• 有理数是不是小数？
• 无理数是不是小数？
• 实数是不是小数？

小学课本中对小数的定义较为简单：

而百度百科中的定义则更为准确：

小数是实数的一种特殊的表现形式。所有分数都可以表示成小数，小数中的圆点叫做小数点，它是一个小数的整数部分和小数部分的分界号。其中整数部分是零的小数叫做纯小数，整数部分不是零的小数叫做带小数。

这里有两个关键词：实数、表现形式。"小数是实数的一种特殊的表现形式"，这句话道出了小数的本质：

1. 小数是数的一种表现形式
2. 只要是实数，都能用小数的形式表现出来

因此，说到底，小数只不过是数的一种写法而已。只要一个数能写成这样的形式：整数部分.小数部分，那么它就是小数。所以说，小数完全是形式化的东西。

用一张图可以表示出小数与实数范围内其他数的关系：

因此，前面提的那一大堆问题，只有"8.0是不是小数？"这一条是肯定的。

据此，我们小学时都学到的一个说法可能是不严谨的：π是无限不循环小数。严格来讲，我们可以说"π可以写成无限不循环小数"，但不能说"π是无限不循环小数"。

二、小数的分类

1. 有限小数、无限循环小数、无限不循环小数

按小数点后的数字的性质可分为：

• 有限小数：小数点后只有有限个数字的小数，如0.5、0.25、1.75等。有限小数都可以表示为两个整数的比（分母不为0）。
• 无限小数：小数点后有无限多个数字。分为两类：
• 无限循环小数：小数点后的数字序列中，有一部分数字会无限重复。比如0.333…（或写作0.3）、0.142857142857…（或写作0.142857）。无限循环小数也可以表示为两个整数的比。
• 无限不循环小数：小数点后的数字序列不会重复，也不会终止。比如π、e（自然对数的底数）、2等。无限不循环小数不能表示为两个整数的比。

2. 纯小数、带小数

按整数部分是否为0可分为：

• 纯小数：整数部分为0的小数。
• 带小数：整数部分不为0的小数。

3. 定点数、浮点数

按小数在计算机中的表示形式可分为：

• 定点数：指小数点在数中的位置是固定不变的。因为位置固定，所以实际上不需存储小数点。理论上讲，可以约定把小数点放在任何位置，但通常将其放在最后（纯整数：除符号位，所有数都表示整数）或最前（纯小数：除符号位，所有位都表示纯小数）。
• 浮点数：小数点的位置是不固定的，这使得浮点数可以表示非常大或非常小的数。浮点数通常使用科学计数法来表示，即M × R E M \times R^EM×RE，其中 M 是尾数（或有效数字），E 是指数（或阶码），R是进制。尾数和阶码均为带符号数。尾数的符号表示数的正负，阶码的符号则表明小数点的实际位置。浮点数的精度由尾数决定，数的表示范围由阶码决定。如二进制小数10011.101，按浮点数形式可表示为1.0011101×24。其中尾数为+1.0011101，阶码为+4。

三、浮点数的存储

浮点数的存储涉及到补码知识：

• 正数补码都是其自身。
• 负数的补码是对应正数取反，再+1。

此外，还涉及到另一个概念：移码。移码，就是对补码的符号位取反。假设用4位二进制数表示，-1的补码为1111，移码为0111；1的补码为0001，移码为1001。0111在十进制下为7，1001在十进制下为9，相当于给原数加上了8（23）。速算规律：n位二进制数的移码相当于加上2n-1。

在C/C++中，存放浮点数的变量类型为float和double，分别占用32位、64位二进制数，其空间的分配规则如下：

以float类型数据为例，在32位二进制空间中，从左往右：

• 符号位：最高位为符号位，用来表示正负（0为正数、1为负数）。
• 指数位：接下来8位为指数位，用来存储浮点数阶码。只是实际存储的数据并非阶码的二进制值，而是将阶码先转为移码，再减1。也就是说，存入的数据为：阶码+27-1=阶码+127）。
• 尾数位：再之后23位用来表示尾数部分（纯小数）。因为浮点数的尾数都为1.××××，所以可将1和小数点都舍去，只存储小数点后边的部分。

例如，十进制数19.625，若以float类型存储，计算过程如下：

1. 浮点数：19.625转换为二进制数为10011.101，浮点数表示为1.0011101×24。
2. 符号位：正数，所以符号位为0。
3. 阶码位：阶码为+4，8位二进制对应存储数据为：阶码+127=4+127=131=10000011B。
4. 尾数位：尾数为1.0011101，舍去前面的1和小数点，只存储后面的0011101。

三个部分合在一起，得到19.625在内存中的存储形式如下：

0 10000011 00111010000000000000000

若以double类型存储，原理不变，只是指数位变为11位，对应的存储数据为：移码+1023（210-1）。如十进制数2.5，若以double类型存储，计算过程如下：

1. 浮点数：2.5转换为二进制为10.1，浮点表示为1.01×21。
2. 符号位：正数，符号位为0。
3. 阶码位：阶码为+1，11位指数位的移码偏移为1023，1+1023=1024=10000000000B。
4. 尾数位：尾数为1.01，舍去前面的1和小数点，存储为01（之后50个0）。

合在一起，得到2.5在内存中的存储形式如下：

0 10000000000 01（之后50个0）