“奔驰”定理及应用讲义-2025届高三数学二轮复习

“奔驰”定理及应用讲义-2025届高三数学二轮复习

“奔驰”定理是平面几何中的一个重要定理，广泛应用于各种几何问题的求解中。本文将详细介绍“奔驰”定理的基本概念、证明方法及其在高考数学中的应用。

“奔驰”定理的基本概念

“奔驰”定理，又称为“梅涅劳斯定理”，是平面几何中的一个重要定理。其基本内容是：在三角形ABC中，若直线DEF分别交AB、BC、CA于点D、E、F，则有：

$$\frac{AD}{DB} \cdot \frac{BE}{EC} \cdot \frac{CF}{FA} = 1$$

这个定理得名于其图形形状类似于奔驰车标，因此得名“奔驰”定理。

“奔驰”定理的证明

“奔驰”定理的证明可以通过面积法或相似三角形法进行。这里我们采用面积法进行证明：

设三角形ABC的面积为S，三角形ADF、BDE、CEF的面积分别为S1、S2、S3。则有：

$$S = S1 + S2 + S3$$

根据面积比等于底边比的性质，可以得到：

$$\frac{AD}{DB} = \frac{S1}{S2}$$
$$\frac{BE}{EC} = \frac{S2}{S3}$$
$$\frac{CF}{FA} = \frac{S3}{S1}$$

将上述三个式子相乘，即可得到：

$$\frac{AD}{DB} \cdot \frac{BE}{EC} \cdot \frac{CF}{FA} = 1$$

这正是“奔驰”定理的结论。

“奔驰”定理的应用

“奔驰”定理在高考数学中有着广泛的应用，特别是在解决与三角形相关的几何问题时。下面通过几个具体的例题来说明“奔驰”定理的应用。

例题1

如图所示，在三角形ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA上的点，且AD：DB = 1：2，BE：EC = 2：1，CF：FA = 3：1。求证：直线DEF共点。

证明：

根据“奔驰”定理，有：

$$\frac{AD}{DB} \cdot \frac{BE}{EC} \cdot \frac{CF}{FA} = 1$$

将已知条件代入，得到：

$$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{1} \cdot \frac{3}{1} = 3 \neq 1$$

这说明直线DEF不共点。但是，根据“奔驰”定理的逆定理，如果三条直线共点，则上述乘积等于1。因此，本题的结论是错误的，直线DEF不共点。

例题2

如图所示，在三角形ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA上的点，且AD：DB = 1：2，BE：EC = 2：1，CF：FA = 3：1。求证：直线DEF共点。

证明：

根据“奔驰”定理，有：

$$\frac{AD}{DB} \cdot \frac{BE}{EC} \cdot \frac{CF}{FA} = 1$$

将已知条件代入，得到：

$$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{1} \cdot \frac{3}{1} = 3 \neq 1$$

这说明直线DEF不共点。但是，根据“奔驰”定理的逆定理，如果三条直线共点，则上述乘积等于1。因此，本题的结论是错误的，直线DEF不共点。

通过以上例题可以看出，“奔驰”定理在解决与三角形相关的几何问题时具有重要的应用价值。掌握“奔驰”定理及其证明方法，对于提高高考数学解题能力具有重要意义。