基于Position-Based Dynamics的布料模拟技术详解

基于Position-Based Dynamics的布料模拟技术详解

引用

CSDN

1.

https://m.blog.csdn.net/weixin_41464663/article/details/146096425

基于Position-Based Dynamics的布料模拟

Position-Based Dynamics (PBD) 是一种用于物理模拟的方法，特别适用于实时的软体、布料、流体等模拟。与传统的基于力的方法不同，PBD直接操作物体的位置来满足一组约束条件，而不是通过求解复杂的微分方程来计算加速度和速度。

约束

PBD通过定义一系列约束（例如距离保持、不可穿透性等）来描述系统的物理行为。在每一步模拟中，算法尝试调整粒子或物体的位置，以尽可能满足这些约束条件。

对于弹簧/边 来说，两点间的距离应该保持不变，约束条件为：

投影

投影函数的核心思想是找到距离原始点最近的满足给定约束的点。对于一个不满足某些约束条件的初始值，通过投影函数可以将其转换为最接近且满足这些约束条件的新值。

对弹簧来说，当预测位置违反了距离约束时，我们就需要通过投影来修正这些位置，使得它们再次满足约束条件。

弹簧 基于位置的投影函数：

用投影调整质点的位置以尽量满足约束

很多弹簧的情况

高斯赛德尔方法迭代所有边

• 在这个过程中 我们无法确保每个约束都能得到满足。但是，使用的迭代次数越多，这些约束就能得到越好的满足。
• 虽然这个方法的名字与高斯-赛德尔（Gauss-Seidel）有关，但它实际上与高斯-赛德尔方法不同，它与随机梯度下降（stochastic gradient descent）的关系更为密切。
• 迭代的顺序可能会导致偏差并影响收敛行为。

Jacobi方法

Jacobi方法并不立即更新顶点，而是计算所有边对该顶点的位置变换取平均值。相比高斯-赛德尔方法， Jacobi方法缺点是收敛速度降低，优点是没有bias，容易并行。

Position-Based Dynamics模拟的特点

• PBD和真实的物理无关，迭代次数越多，网格分辨率越大，布料约束越强，弹性越差
• 投影后的速度更新对于动态效果非常重要。
• 这种方法同样适用于其他类型的约束，包括三角形约束、体积约束和碰撞约束。要实现这些约束，只需定义它们的投影函数。
• 优点：容易并行；容易实现；通用性强，适用布料流体等模拟；低分辨率效率快
• 缺点：没有物理含义，没有精确解；高分辨率下效率低（层次化方法可能导致振荡和其他问题）

strain limiting

strain limiting是一种结合物理模拟和PBD的方法。在基于物理的模拟之上多了一点约束。

比如，我们可以设置弹簧的弹性限度。在真实世界，弹簧也并不是可以无限拉神的。strain limiting可以使系统更稳定。

PBD: σ≡1; No limit: σ^min ⟵0, σ^max⟵∞

面积约束

作业二 代码

我们固定第0个和第2个 顶点

void Update () 
{
    Mesh mesh = GetComponent<MeshFilter> ().mesh;
    Vector3[] X = mesh.vertices;
    for(int i=0; i<X.Length; i++)
    {
        if(i==0 || i==20)	continue;
        //Initial Setup
        //...
        V[i] *= damping;
        V[i] += mass * gravity;
        X[i] += V[i] * t;	//X_hat is an initial guess, not a real update
    }
    mesh.vertices = X;
    for(int l=0; l<32; l++)
        Strain_Limiting ();
    Collision_Handling ();
    mesh.RecalculateNormals ();
}

这里用的是基于Jocobi的纯PBD方法。

void Strain_Limiting()
{
    Mesh mesh = GetComponent<MeshFilter> ().mesh;
    Vector3[] X = mesh.vertices;
    Vector3[] sum_X = new Vector3[X.Length];
    int[] sum_n = new int[X.Length];
    //Apply PBD here.
    //...
    for (int e = 0;e < L.Length; e++)
    {
        int i = E[2*e];
        int j = E[2*e + 1];
        sum_X[i] += 0.5f * (X[i] + X[j] + L[e]*(X[i] - X[j]).normalized);
        sum_X[j] += 0.5f * (X[i] + X[j] - L[e]*(X[i] - X[j]).normalized);
        sum_n[i] += 1;
        sum_n[j] += 1;
    }
    Vector3 X_old;
    for (int i = 0;i< X.Length;i++)
    {			
        if (i==0 || i==20) continue;
        X_old = X[i];
        X[i] = (0.2f * X[i] + sum_X[i]) / (0.2f + sum_n[i]);
        V[i] += (X[i]-X_old)/t; 
        
    }
    mesh.vertices = X;
}