随机变量：平均、方差和标准差

随机变量：平均、方差和标准差

随机变量是统计学中的一个基本概念，它将随机实验的结果用数值表示，从而可以进行数学分析。本文将通过具体例子，详细介绍随机变量的平均值、方差和标准差的计算方法。

随机变量是一个随机实验结果的可能数值。

例子：抛硬币

结果可以是正面或反面。我们可以用数值来代表：正面=0和反面=1，这就是随机变量 "X"：

所以：

• 有个实验（比方抛硬币）
• 我们给每个事件分派数值
• 数值的集合是个随机变量

去阅读随机变量来了解更多。

平均、方差和标准差

例子：抛一个不公平的骰子

想象一个加重了的骰子（蒙人！）。概率是：

平均或期望值：μ

如果我们知道每个数值x的概率，我们便可以计算 X 的期望值（平均）：

μ = Σxp

注意：Σ是总和符号，意思是加起来。

计算期望值：

• 把每个数值乘以其概率
• 把结果加起来

例子（续）：

μ = Σxp = 0.1+0.2+0.3+0.4+0.5+3 = 4.5

期望值是 4.5

注意：这是加权平均值：高概率的数值在平均里有较高的比重。

方差：Var(X)

方差是：

Var(X) = Σx2p − μ2

计算方差：

• 把每个数值的平方乘以其概率
• 把结果加起来：Σx2p
• 减去期望值的平方μ2

例子（续）：

Σx2p = 0.1+0.4+0.9+1.6+2.5+18 = 23.5

Var(X) = Σx2p − μ2= 23.5 - 4.52= 3.25

方差是 3.25

标准差：σ

标准差是方差的平方根：

σ = √Var(X)

例子（续）：

σ = √Var(X)= √3.25= 1.803...

标准差是 1.803……

再来一个例子！
（注意这次的列表是垂直排列的。）

你打算开一家麦德劳炸鸡店。这是市场调查数据：

用这些概率来计算，你的利润期望值和标准差是多少？

随机变量是 X = '可能利润'。

求xp和x2p的总和：

μ = Σxp =25

Var(X) = Σx2p − μ2= 3750 − 252= 3750 − 625 =3125

σ = √3125 =56（到最近的整数）

这些数值的单位是千元，所以：

• μ = ￥25,000
• σ = ￥56,000

所以你预期可以转到 ￥25,000，但可能有很大的误差。

我们再做一遍，不过这次 ￥50,000 的概率大很多：

例子（续）：

用不同的概率（￥50,000 的概率是很高的0.7）：

μ = Σxp =45

Var(X) = Σx2p − μ2= 4250 − 452= 4250 − 2025 =2225

σ = √2225 =47（到最近的整数）

把千元转回到元：

• μ = ￥45,000
• σ = ￥47,000

平均值现在比较接近离最可能值了。
标准差也小了（代表数值比较聚合在中间。）

连续

随机变量可以是离散或连续的：

• 离散数据只能取某些数值（例如 1、2、3、4、5）
• 连续数据可以取一个范围（值域）里的任何数值（例如人的身高）

这个网页的例子都是关于离散数据的，因为求连续数据的平均、方差和标准差需要用到积分法。

总结

• A随机变量是随机实验结果的可能数值。
• 平均（期望值）是：μ = Σxp
• 方差是：Var(X) = Σx2p − μ2
• 标准差是：σ = √Var(X)